Đề thi thử Toán vào lớp 10 (chuyên) năm 2026-2027 trường PTNK (TP Hồ Chí Minh)

Bài 3. (2 điểm) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a^2 + a = 3b^2 - b.

a) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố thì a = b.

b) Chứng minh rằng 2a - 2b + 1 là số chính phương.

Bài 5. (1.5 điểm) Cho các số nguyên dương a1 < a2 <a3 < ... < a30 < a31. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.

a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh a >= 226.

b) Lấy a1, a2,....,a31 là 31 số nguyên dương đầu tiên: 1,2,..., 31. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.