Câu hỏi:

06/09/2022 1,846

c) Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AC cắt các đường thẳng AK và AH lần lượt tại điểm M và điểm N. Chứng minh HM = HN.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) Ta có : $K I . K A = K F . K E (c m t) \Rightarrow \frac{K I}{K E} = \frac{K F}{K A}$

Xét $∆ K I F$ và $∆ K E A$ ta có : $\frac{K I}{K E} = \frac{K F}{K A} (c m t); ∠ A K E$ chung

$\Rightarrow Δ K I F ∽ Δ K E A (c . g . c) \Rightarrow ∠ K I F = ∠ F E A$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow A I F E$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) $\Rightarrow I, A, F, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Mà tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp (do có $∠ A E H + ∠ A F H = 180 °) \Rightarrow A, E, H, F$ cùng thuộc một đường tròn

Do đó 5 điểm $I, A, F, H, E$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH

$\Rightarrow ∠ H I A = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow H I ⊥ A K \Rightarrow ∠ H I M = 90 °$ (kề bù với $∠ H I A)$

Ta có: $\{\begin{cases} B E ⊥ A C \\ A C / / M N (g t) \end{cases} \Rightarrow B E ⊥ M N$ (từ vuông góc đến song song) $\Rightarrow ∠ H B M = 90 °$

$\Rightarrow ∠ H I M = ∠ H B M = 90 ° \Rightarrow ∠ H I M + ∠ H B M = 180 °$

$\Rightarrow B H I M$ nội tiếp đường tròn đường kính HM (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow ∠ M H B = ∠ M I B = ∠ K I B$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BBM

Mà $∠ K I B = ∠ K C A$ (vì $∠ K I B$ là góc ngoài tại đỉnh I của tứ giác nội tiếp BIAC)

$\Rightarrow ∠ M H B = ∠ K C A$

Mặt khác ta có : $∠ K C A = ∠ A H E$ (cùng phụ $∠ H A E)$ và $∠ A H E = ∠ B H N$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∠ M H B = ∠ B H N \Rightarrow H B$ là tia phân giác của góc MMHN

$\Rightarrow Δ M H N$ cân tại H (do có HB là đường cao đồng thời là phân giác)

Vậy HM= HN

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^{2} - m x - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = x_{1} + x_{2}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình $x^{2} - m x - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow Δ = b^{2} - 4 a c > 0 \Leftrightarrow {(- m)}^{2} - 4.1. (- m - 1) > 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 > 0 \Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq - 2 (1) \end{array}$

Khi đó, theo hệ thức Vi- et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = - m - 1 \end{cases}$ . Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l} \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = x_{1} + x_{2} \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = x_{1} + x_{2} \\ \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} - x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow (x_{1} + x_{2}) (\frac{1}{x_{1} x_{2}} - 1) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 0 \\ x_{1} x_{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ - m - 1 = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (t m) \\ m = - 2 (k t m) \end{array}$

Vậy m= 0 là giá trị cần tìm

Câu 2

b) Trong năm học 2020-2021, trường Trung học cơ sở A tổ chức cho học sinh đăng ký tham gia câu lạc bộ Toán học và câu lạc bộ Sáng tạo khoa học. Ở học kỳ 1, số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học ít hơn số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ Sáng tạo khoa học là 50 học sinh. Sang học kỳ 2, có 5 học sinh chuyển từ câu lạc bộ Sáng tạo khoa học sang câu lạc bộ Toán học nên số lượng học sinh của câu lạc bộ Toán học bằng $\frac{3}{4}$ số lượng học sinh của câu lạc bộ Sáng tạo khoa học. Biết rằng trong năm học, tổng số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ không thay đổi và mỗi học sinh chỉ tham gia một câu lạc bộ. Hỏi số lượng học sinh của mỗi câu lạc bộ ở học kỳ 2 là bao nhiêu ?

Xem đáp án

Lời giải

b) Gọi số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học ở học kỳ I là x học sinh $(x \in ℕ *)$

Vì số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học ít hơn số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ Sáng tạo khoa học là 50 học sinh nên số học sinh tham gia câu lạc bộ Sáng tạo khoa học ở học kỳ I là x + 50 (học sinh)

Học kỳ 2, số học sinh tham gia câu lạc bộ Sáng tạo khoa học và câu lạc bộ Toán học lần lượt là x + 50 - 5 = x + 45 (học sinh) và x + 5 (học sinh)

Do số lượng học sinh của câu lạc bộ Toán học bằng $\frac{3}{4}$ số lượng học sinh của câu lạc bộ Sáng tạo khoa học nên ta có phương trình

$x + 5 = \frac{3}{4} (x + 45) \Leftrightarrow x + 5 = \frac{3}{4} x + \frac{135}{4} \Leftrightarrow x = 115 (t m d k)$

Vậy học kỳ 2, số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học là 115 + 5 = 120 học sinh, số lượng học sinh của câu lạc bộ Sáng tạo khoahọc115 + 45 = 160 học sinh

Câu 3

Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC ( $A B < A C$ ) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H

a) Chứng minh các tứ giác BCEF, EHDC nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh tam giác KBF đồng dạng với tam giác KEC và $K I . K A = K F . K E$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho đường tròn tâm O bán kính 4 cm. Độ dài của đường tròn (O) bằng:

A. $8 πcm$

B. $16 πcm$

C. $2 πcm$

D. $4 πcm$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Bạn Lan đi siêu thị mua hai loại trái cây là xoài và ổi. Số tiền mà Lan phải trả theo giá niêm yết khi mua 2kg xoài và 3kg ổi là 80 000 đồng. Tuy nhiên, khi Lan trả tiền thì giá của xoài được giảm 10%so với giá niêm yết. Do đó, Lan chỉ trả 75 000 đồng. Giá niêm yết của mỗi kg xoài và kg ổi lần lượt là

A. 10000 đồng và 25 000 đồng

B. 28000 đồng và 8 000 đồng

C. 16000 đồng và 16 000 đồng

D. 25000 đồng và 10 000 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

c) Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AC cắt các đường thẳng AK và AH lần lượt tại điểm M và điểm N. Chứng minh HM = HN.

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình x2−mx−m−1=0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn 1x1+1x2=x1+x2

Rút gọn biểu thức A=15−35−1−12−3

Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H a) Chứng minh các tứ giác BCEF, EHDC nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh tam giác KBF đồng dạng với tam giác KEC và KI.KA=KF.KE

Cho đường tròn tâm O bán kính 4 cm. Độ dài của đường tròn (O) bằng:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^{2} - m x - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = x_{1} + x_{2}$

Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

Cho tam giác ABC ( $A B < A C$ ) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H

a) Chứng minh các tứ giác BCEF, EHDC nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh tam giác KBF đồng dạng với tam giác KEC và $K I . K A = K F . K E$