Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

A = {x ∈ ℝ | |x – m| ≤ 25} ⟹ A = [m – 25; m + 25]

B = {x ∈ ℝ | |x| ≥ 2020} ⟹ B = (-∞; -2020] ∪ [2020; +∞)

Để A ∩ B = ∅ thì -2020 < m – 25 và m + 25 < 2020 (1)

Khi đó (1) ⟺$\left\{\begin{array}{c}m-25>-2020\\ m+25<2020\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>-1995\\ m<1995\end{array}\right.$ ⟹ -1995 < m < 1995.

Vậy có 3989 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số giá trị nguyên để mệnh đề P(x) là mệnh đề đúng chính là số nghiệm nguyên của phương trình |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| (1).

+ Nếu x ≥  $-\frac{3}{2}$ thì ta có:

(1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| ⇔ $\left[\begin{array}{c}{x}^2–2x–3=x^2+2x+3\\ -x^2\text{+ }2x\text{ + }3=x^2+2x+3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{3}{2}\\ x=0\end{array}\right.$ .Mà x ∈ ℤ và x ∈ [-2020; 2021] nên x = 0 thỏa mãn.

+ Nếu x < $-\frac{3}{2}$ thì ta có (1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² – 2x – 3. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của (1) trong trường hợp này:

(1) ⇔ $\left\{\begin{array}{c}{x}^2–2x–3\ge 0\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x\le -1\\ x\ge 3\end{array}\right.\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff x<-\frac{3}{2}$

Mà x ∈ [-2020;2021] nên x ∈ {-2; -3; …; -2020}.

Do đó tập nghiệm của phương trình là S = {0; -2; -3; …; -2020}.

Vậy có 2020 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.