Phần nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng d) ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình (a – 1)x + (2b + 3)y > – 2. Giá trị của a, b là?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:

y = a’x + b’. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là $\left(\frac{1}{2};0\right)$ và (0; 1). Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}0=\frac{1}{2}.a\text{'}+b\text{'}\\ 1=a\text{'}.0+b\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\text{'}=-2\\ b\text{'}=1\end{array}\right.\Rightarrow$ y = – 2x + 1

Vậy đường thẳng có phương trình 2x + y = 1.

Xét điểm O(0; 0), có: 2.0 + 0 = 0 < 1.

Vì O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần nửa mặt phẳng không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y > 1

Suy ra: a = 2; b = 1; c = 1

⇒ P = a² + b² – 2c = 2² + 1² – 2.1 = 3.

Vậy P = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử đường thẳng (∆) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:

y = a’x + b’. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (∆) đi qua hai điểm có tọa độ là (– 2; 0) và (0; – 2). Ta có hệ phương trình

 $\left\{\begin{array}{l}0=a\text{'}.(-2)+b\text{'}\\ -2=a\text{'}.0+b\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\text{'}=-1\\ b\text{'}=-2\end{array}\right.\Rightarrow$  y = – x – 2

Vậy đường thẳng có phương trình x + y = – 2

Xét điểm O(0; 0), có: 0 + 0 = 0 > – 2.

Vì O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần tô đậm biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y > – 2 (không kề đường thẳng ∆)

Ta có a = 1; b = 1; c = – 2

Xét hệ phương trình A: $\left\{\begin{array}{l}2a+5c=-8\\ a-c=3\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=-2\end{array}\right.$   .

Xét hệ phương trình B: $\left\{\begin{array}{l}2a+c=0\\ a-c=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ c=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình C: $\left\{\begin{array}{l}2a+5c=12\\ a-c=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình D: $\left\{\begin{array}{l}2a+c=4\\ a+c=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\end{array}\right.$

Vậy chọn đáp án A.