Cho hàm số y = $\frac{1}{2}$x² có đồ thị là parabol (P).

a) Tìm giá trị của m sao cho điểm C(−2; m) thuộc parabol (P).

b) Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng y = x + $\frac{3}{2}$ và parabol (P), biết hoành độ của điểm A nhỏ hơn hoành độ của điểm B. So sánh OB với .OA (với O là gốc tọa độ).

1.

a) Ta có  $\widehat{AMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O).

Suy ra $\widehat{AMD}$= 90° (kề bù với $\widehat{AMB}$)

Có DC ^ AB Þ  $\widehat{ACD}=\widehat{KCB}=90°$

Xét tứ giác ACMD có: $\widehat{ACD}=\widehat{AMD}$= 90° (chứng minh trên).

Suy ra C, M cùng thuộc đường tròn đường kính AD (quỹ tích cung chứa góc)

Do đó tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn đường kính AD.

b) Ta có tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn đường kính AD

Suy ra  $\widehat{CAM}=\widehat{CDM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM) hay  $\widehat{CAK}=\widehat{CDB}$

Xét ∆ACK và ∆DCB có:

$\left.\begin{array}{c}\widehat{ACK}=\widehat{DCB}=90°\\ \widehat{CAK}=\widehat{CDB}\left(cmt\right)\end{array}\right\}$Þ ∆ACK $\backsim$∆DCB (g.g)

Þ  $\frac{CA}{CB}=\frac{CK}{CB}$Þ CA.CB = CD.CK

c) Ta có  $\widehat{AMD}$= 90° Þ AM ^ BD mà K là giao điểm của hai đường cao DC và AM.

Suy ra K là trực tâm của ∆ABD

Do đó BK ^ AD

Ta lại có  $\widehat{ANB}$= 90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Þ BN ^ AD.

Þ BK ≡ BN hay N, K, B thẳng hàng.

Þ KN ^ AD

Ta có tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn

Þ  $\widehat{AMC}=\widehat{ADC}$(cùng chắn cung AC) (1)

Tứ giác KMDN có  $\widehat{KMD}+\widehat{KND}=90°+90°=180°$ (tổng hai góc đối)

Suy ra tứ giác KMDN nội tiếp đường tròn đường kính DK

Do đó  $\widehat{KMN}=\widehat{KDN}$ (cùng chắn cung KN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{KMC}=\widehat{KMN}$ Þ MK là tia phân giác của  $\widehat{NMC}$.

d) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua DC Þ  $\widehat{DBC}=\widehat{DB\text{'}C}$(tính chất đối xứng)

Ta có  $\widehat{CKM}=\widehat{AKD}$ (hai góc đối đỉnh)

Ta có tứ giác BCKM nội tiếp ( $\widehat{BCK}=\widehat{BMK}=90°$)

Þ  $\widehat{DBC}+\widehat{MKC}=180°$ Þ  $\widehat{DB\text{'}A}+\widehat{DKA}=180°$

Þ Tứ giác AKDB’ nội tiếp đường tròn.

Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDB’

Nên O’ thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB’.

Mà A, B, C cố định nên B’ cố định suy ra đường thẳng d cố định.

Vậy tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp ∆AKD luôn nằm trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB’ cố định.

2. Diện tích xung quanh của hình nón là: S_xq = prl (với r là độ dài bán kính, l là độ dài đường sinh).

Có đườg kính d = 40 cm nên bán kính r = 20 cm

Có l = 30 cm

S_xq = 3,14 . 20 . 30 = 1884 (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 1884 cm².