Cho tam giác ABC có C(–1; 2), đường cao BH: x – y + 2 = 0, đường phân giác trong AN: 2x – y + 5 = 0 . Toạ độ điểm A là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là: $\overrightarrow{n_1}$(3; 4)

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}(a;-2)$ ⇒ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(2; a)

Theo giả thiết ta có:

cos α = $\frac{\left|3.2+4a\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{2^2+a^2}}$= cos 45^° = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\frac{\left|6+4a\right|}{5.\sqrt{4+a^2}}$= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇔ $\sqrt{2}.\left|6+4a\right|=5.\sqrt{4+a^2}$

⇒ 8(3 + 2a)² = 25.(a² + 4)

⇔ 8(9 + 12a + 4a²) = 25a² + 100

⇔ 32a² + 96a + 72 = 25a² + 100

⇔ 7a² + 96a – 28 = 0

⇒$\left[\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ a=-14\end{array}\right.$

Vậy với a = $\frac{2}{7}$ hoặc a = −14 thì góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45^°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì AC ∩ AB = A nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}3x-y+4=0\\ x+2y-4=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{7}\\ y=\frac{16}{7}\end{array}\right.\Rightarrow A\left(\frac{-4}{7};\frac{16}{7}\right)$

Tương tự ta có: B$\left(\frac{-10}{11};\frac{14}{11}\right)$ và C (−8; 6)

Ta có: S_ABC = $\frac{1}{2}$.d(A; BC).BC

= $\frac{1}{2}.\frac{\left|2.\frac{-4}{7}+3.\frac{16}{7}-2\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}.\sqrt{{\left(-8+\frac{10}{11}\right)}^2+{\left(6-\frac{14}{11}\right)}^2}$

= $\frac{1}{2}.\frac{26}{7\sqrt{13}}.\sqrt{{\left(\frac{-78}{11}\right)}^2+{\left(\frac{52}{11}\right)}^2}$

=  $\frac{13}{7\sqrt{13}}.\frac{26\sqrt{13}}{11}$ = $\frac{338}{77}$.