Cho đường thẳng d₁: 3x + 4y + 12 = 0 và d₂ : $\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\ y=1-2t\end{array}\right.$. Tìm giá trị của tham số a để góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45^°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{n_{BH}}(1;-1)$

Đường cao BH vuông góc với AC nên đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{n_{BH}}(1;-1)$làm vectơ chỉ phương hay nhận $\overrightarrow{n_{AC}}(1;1)$làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương đường thẳng AC đi qua điểm C(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{AC}}(1;1)$ là: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0 ⇔ x + y – 1 = 0.

Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AN nên toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y–1=0\\ 2x–y+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}\right.\iff A\left(\frac{-4}{3};\frac{7}{3}\right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-2;1)$⇒ BC = $\sqrt{{(-2)}^2+1^2}=\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AB}=(0;-1)$⇒ AB = $\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2}=1$;

$\overrightarrow{AC}=(-2;0)$⇒ AC = $\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2$.

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{\left|2+2.(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$= $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒ S_ABC = $\frac{1}{2}$.d(A; BC) . BC = $\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}$= 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S_ABC = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: