Tính giá trị biểu thức $\text{B}=\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\mathrm{....}+\frac{1}{1+2+3+4+\mathrm{..}+69}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đặt B = $\frac{1}{\text{n}.(\text{n}+1).(\text{n}+2)}$

$\begin{array}{l}2\text{B}=\frac{\text{2}}{\text{n.(n+1)(n+2)}}\text{=}\frac{\text{(n+2)}-\text{n}}{\text{n.(n+1).(n+2)}}=\frac{\text{n+2}}{\text{n.(n+1).(n+2)}}-\frac{\text{n}}{\text{n.(n+1).(n+2)}}\\ \text{2B = }\frac{\text{1}}{\text{n.(n+1)}}-\frac{\text{1}}{\text{(n+1).(n+2)}}\end{array}$

Ta có: P = $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\frac{1}{\mathrm{3.4.5}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\mathrm{10.11.12}}$

2P = $\frac{2}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{2}{\mathrm{2.3.4}}+\frac{2}{\mathrm{3.4.5}}+\mathrm{...}+\frac{2}{\mathrm{10.11.12}}$

Ta thấy các số hạng của tổng 2P đều có dạng $\frac{\text{2}}{\text{n.(n+1).(n+2)}}$, nên ta viết lại số hạng đó dưới dạng $\frac{\text{1}}{\text{n.(n+1)}}-\frac{\text{1}}{\text{(n+1).(n+2)}}$. Ta có:

2P = $\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{10.11}-\frac{1}{11.12}$

2P = $\frac{1}{1.2}-\frac{1}{11.12}$

2P = $\frac{11.6}{\mathrm{1.2.11.6}}-\frac{1}{11.12}=\frac{66}{11.12}-\frac{1}{11.12}=\frac{65}{132}$

P = $\frac{65}{132}.\frac{1}{2}=\frac{65}{264}$.

Vậy đáp án đúng là B.