Cho các số thực x,y với $x\ge 0$ thỏa mãn $e^{x+3y}+e^{xy+1}+x\left(y+1\right)+1=e^{-xy-1}+\frac{1}{e^{x+3y}}-3y.$ Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x+2y+1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E là trung điểm AB. Cho biết $AB=2a,BC=a\sqrt{3},CC\text{'}=4a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và CE bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m^2\right|$ có đúng 5 điểm cực trị? 

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-2\right)x$ đồng biến trên khoảng $\left(12;+\infty \right)?$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B'C'. Góc $\alpha$ là góc hợp giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}\right).$ Tính giá trị của $\sin \alpha .$ 

Phương trình $3^{x-4}=1$ có nghiệm là:

Cho hàm số y= f(x) có bảng xét dấu của y' như sau:

 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Một hộp đựng thẻ gồm 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp thẻ đó. Xác suất để 2 thẻ rút được có tổng là một số tự nhiên chia hết cho 3 là