Cho n là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau:

S = $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n$.

Ta có: S = $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n$

Suy ra 2S = $\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]$ + $\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]$

Lại có: $C_n^k = C_n^{n - k}$ (tính chất tổ hợp).

Do đó, 2S = $\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]$ + $\left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n - 1} + ... + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right]$

⇒ 2S = $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n$$+ C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}$

Xét khai triển (1 + x)^{2n + 1} = $C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}$.

Khi x = 1 ⇒ 2S = 2^{2n + 1} ⇒ S = 2²ⁿ = 4ⁿ.

Vậy S = 4ⁿ.