Cho n là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau:

S = \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\).

Ta có: S = \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\)

Suy ra 2S = \[\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\] + \(\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\)

Lại có: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) (tính chất tổ hợp).

Do đó, 2S = \[\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\] + \[\left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n - 1} + ... + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right]\]

⇒ 2S = \[C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\]\[ + C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\]

Xét khai triển (1 + x)^{2n + 1} = \[C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\].

Khi x = 1 ⇒ 2S = 2^{2n + 1} ⇒ S = 2²ⁿ = 4ⁿ.

Vậy S = 4ⁿ.