Câu hỏi:
21/12/2022 1,118Cho n là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau:
S = \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\).
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có: S = \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\)
Suy ra 2S = \[\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\] + \(\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\)
Lại có: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) (tính chất tổ hợp).
Do đó, 2S = \[\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n} \right]\] + \[\left[ {C_{2n + 1}^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n - 1} + ... + C_{2n + 1}^{n + 1}} \right]\]
⇒ 2S = \[C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\]\[ + C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\]
Xét khai triển (1 + x)2n + 1 = \[C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\].
Khi x = 1 ⇒ 2S = 22n + 1 ⇒ S = 22n = 4n.
Vậy S = 4n.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 1) và C(5; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC?
Câu 2:
Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi vào một dãy ghế gồm có 6 chiếc ghế, biết mỗi người ngồi vào một ghế.
Câu 3:
Với n là số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 4:
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x – 3y – 6 = 0 và 3x + 4y – 1 = 0 là
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
Câu 6:
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(4; – 5) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là
Câu 7:
Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của (2x – 5)5 là
về câu hỏi!