Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D ∈ AC). Từ D kẻ DH vuông góc với BC.

a) Chứng minh ΔABD = ΔHBD.

b) So sánh AD và DC.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AB và DH, I là trung điểm của KC. Chứng minh 3 điểm B, D, I thẳng hàng.

Giải:

a) Xét DABD và ΔHBD có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ \),

BD là cạnh chung,

\(\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (do BD là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).

Do đó DABD = ΔHBD (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ DABD = ΔHBD (câu a) suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng)

Xét DDHC vuông tại H có DC là cạnh huyền nên DC là cạnh lớn nhất

Do đó DC > HD nên DC > AD.

c) Xét DBKC có CA ⊥ BK, KH ⊥ BC và CA cắt KH tại D

Do đó D là trực tâm của DBKC, nên BD ⊥ KC          (1)

Gọi J là giao điểm của BD và KC.

Xét DBKJ và DBCJ có:

\(\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ \),

BJ là cạnh chung,

\(\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}\) (do BJ là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).

Do đó DBKJ = DBCJ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra KJ = CJ (hai cạnh tương ứng)

Hay J là trung điểm của KC.

Mà theo bài I là trung điểm của KC nên I và J trùng nhau.

Do đó ba điểm B, D, I thẳng hàng.