Câu hỏi:

19/08/2025 2,188

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: $4 P D . Q E = P Q^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo tính chất của hai tiếp tuyến của hai đường tròn, ta có:

$D O M = \frac{1}{2} B O M, M O E = \frac{1}{2} M O C$

Cộng vế theo vế, ta được:

$D O E = \frac{1}{2} B O C$

Mà $\frac{1}{2} B O C = A O C = O Q E$ (vì AOC và OQE cùng phụ với QAO)

Nên $D O E = O Q E$

Xét tam giác ODE và tam giác QOE, ta có:

$D O E = Q O E$ (cmt)

$O E D = O E Q$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow Δ O D E ~ Δ Q O E$ (g.g)

Chứng minh tương tự $\Rightarrow Δ O D E ~ Δ P D O$

$\Rightarrow Δ Q O E ~ Δ P D O$ (tính chất bắc cầu)

$\Rightarrow \frac{Q O}{P D} = \frac{Q E}{P O} \Rightarrow P D . Q E = P O . Q O = \frac{P Q}{2} . \frac{P Q}{2} = \frac{P Q^{2}}{4}$

$\Rightarrow 4 P D . Q E = P Q^{2}$ . (đpcm)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Chứng minh: Bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn và $A O ⊥ B C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi N là trung điểm của AO.

Tam giác AOB vuông tại B nên $B N = \frac{1}{2} A O = N A = N O (1)$

Tương tự ta có $C N = \frac{1}{2} A O = N A = N O (2)$

Từ (1) và $(2)$ suy ra $N B = N A = N O = N C$ .

Vậy $A, B, O, C$ cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính AO.

Vì $A B, A C$ là các tiếp tuyến nên $A B = A C$ (t/c).

Mà $O A = O B$ (bán kính) nên AO là trung trực của đoạn BC.

Suy ra AO vuông góc BC

Câu 2

Cho hàm số $y = - 0, 5 x$ có đồ thị là $(d_{1})$ và hàm số $y = x + 2$ có đồ thị là $(d_{2})$

Vẽ đồ thị $(d_{1})$ và $(d_{2})$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Xem đáp án

Lời giải

Bảng giá trị $y = - 0, 5 x$

Media VietJack

Bảng giá trị $y = x + 2$

Media VietJack
Đồ thị:

Media VietJack

Câu 3

Cho hàm số $y = - 0, 5 x$ có đồ thị là $(d_{1})$ và hàm số $y = x + 2$ có đồ thị là $(d_{2})$

Xác định hệ số a,b của đường thẳng (d):y=ax+b biết rằng d song song với $(d_{1})$ và $(d)$ cắt $(d_{2})$ tại một điểm có tung độ là -3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm trên quốc lộ 5 kéo dài, nối xã Đông Hội, huyện Đông Anh ở phía Bắc Hà Nội và phường Ngọc Thụy, quận Long Biên ở phía Nam Hà Nội. Nhịp giữa dài 120m được thiết kế bằng vòm thép nhồi bê tông có hình 1 cung tròn. Khoảng cách điểm cao nhất của mái vòm xuống mặt sàn của cầu là 47m (được mô phỏng hình vẽ dưới). Hãy tính độ dài bán kính của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu Đông Trù? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm M bất kì $(M \equiv B, M \equiv C, M \notin A O)$ . Tiếp tuyến tại M cắt $A B, A C$ lần lượt tại $D, E$ . Chứng minh: Chu vi $Δ A D E$ bằng $2 A B$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC=5cm, AH=2cm, độ lớn góc $A C B = 30 °$ . Tìm độ dài AB.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: $4 P D . Q E = P Q^{2}$ .

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Chứng minh: Bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn và $A O ⊥ B C$ .

Cho hàm số $y = - 0, 5 x$ có đồ thị là $(d_{1})$ và hàm số $y = x + 2$ có đồ thị là $(d_{2})$

Vẽ đồ thị $(d_{1})$ và $(d_{2})$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Cho hàm số $y = - 0, 5 x$ có đồ thị là $(d_{1})$ và hàm số $y = x + 2$ có đồ thị là $(d_{2})$

Xác định hệ số a,b của đường thẳng (d):y=ax+b biết rằng d song song với $(d_{1})$ và $(d)$ cắt $(d_{2})$ tại một điểm có tung độ là -3.

Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC=5cm, AH=2cm, độ lớn góc $A C B = 30 °$ . Tìm độ dài AB.