Cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):x - y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị \(m\) để phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2017;{m^2} - 2m - 2017} \right)\) biến \(\left( \Delta \right)\) thành chính nó.

Đáp án C

Phương pháp:

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) biến đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) thành chính nó khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\).

Cách giải:

Dễ thấy đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow v = \left( {1;1} \right).\)

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) biến đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) thành chính nó khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương

\( \Rightarrow \frac{{2017}}{1} = \frac{{{m^2} - 2m - 2017}}{1} \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 2017 = 2017 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 4034 = 0.\)

Phương trình trên có \(ac < 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.