Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: a+b≥2ab Dấu “=” xảy ra khi a=b . Sử dụng các hằng đẳng thức: x+y2=x2+2xy+y2, x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+xz+yz . Cách giải: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: b+c≥2bc, a+c≥2ac, a+b≥2ab Xét a+2ba+2c=a2+2ac+2ab+4bc=a2+2ab+c+4bc≥a2+2a.2bc+4bc ⇔a+2ba+2c≥a2+4abc+4bc hay a+2ba+2c≥a+2bc2 ⇒a+2ba+2c≥a+2bc Tương tự ta có: b+2ab+2c≥b+2ac c+2ac+2b≥c+2ab Suy ra a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b≥a+b+c+2ab+ac+bc Hay 3≥a+b+c2⇔3≥3 Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=13 . Thay a=b=c=13 vào biểu thức M ta có: M=2.13+3.13−4.132=132=13

Câu hỏi:

13/07/2024 402

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$ .

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}, {(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + x z + y z)$ .

Cách giải:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b + c \geq 2 \sqrt{b c}, a + c \geq 2 \sqrt{a c}, a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Xét $(a + 2 b) (a + 2 c) = a^{2} + 2 a c + 2 a b + 4 b c = a^{2} + 2 a (b + c) + 4 b c \geq a^{2} + 2 a.2 \sqrt{b c} + 4 b c$

$\Leftrightarrow (a + 2 b) (a + 2 c) \geq a^{2} + 4 a \sqrt{b c} + 4 b c$ hay $(a + 2 b) (a + 2 c) \geq {(a + 2 \sqrt{b c})}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} \geq a + 2 \sqrt{b c}$

Tương tự ta có: $\sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} \geq b + 2 \sqrt{a c}$

$\sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq c + 2 \sqrt{a b}$

Suy ra $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq a + b + c + 2 (\sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c})$

Hay $3 \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \Leftrightarrow 3 \geq 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ .

Thay $a = b = c = \frac{1}{3}$ vào biểu thức M ta có:

$M = {(2. \sqrt{\frac{1}{3}} + 3. \sqrt{\frac{1}{3}} - 4. \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = \frac{1}{3}$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,666

Câu 2:

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,395

Câu 3:

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

A. $x \geq 8$

x > 8

x < 8

x \leq 8

Xem đáp án » 04/02/2023 1,208

Câu 4:

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .

Tìm a để P có giá trị bằng 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 950

Câu 5:

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Xem đáp án » 13/07/2024 945

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

A. 10cm

\sqrt{14} c m

\sqrt{2} c m

D. 14cm

Xem đáp án » 04/02/2023 933

Câu 7:

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 916

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Bình luận

Cho hàm số bậc nhất: y=k−2x+k2−2k ; (k là tham số) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho O;R , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K. Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức x−8 là

Cho biểu thức P=1a+1−1a+a:a−1a+2a+1 với a>0 và a≠1 . Tìm a để P có giá trị bằng 2.

Cho biểu thức P=1a+1−1a+a:a−1a+2a+1 với a>0 và a≠1 . Rút gọn P.

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

Tìm x, biết: x−1+4x−4=9 .

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .

Tìm a để P có giá trị bằng 2.

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .