Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: a+b≥2ab Dấu “=” xảy ra khi a=b . Sử dụng các hằng đẳng thức: x+y2=x2+2xy+y2, x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+xz+yz . Cách giải: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: b+c≥2bc, a+c≥2ac, a+b≥2ab Xét a+2ba+2c=a2+2ac+2ab+4bc=a2+2ab+c+4bc≥a2+2a.2bc+4bc ⇔a+2ba+2c≥a2+4abc+4bc hay a+2ba+2c≥a+2bc2 ⇒a+2ba+2c≥a+2bc Tương tự ta có: b+2ab+2c≥b+2ac c+2ac+2b≥c+2ab Suy ra a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b≥a+b+c+2ab+ac+bc Hay 3≥a+b+c2⇔3≥3 Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=13 . Thay a=b=c=13 vào biểu thức M ta có: M=2.13+3.13−4.132=132=13

Câu hỏi:

13/07/2024 327

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$ .

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}, {(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + x z + y z)$ .

Cách giải:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b + c \geq 2 \sqrt{b c}, a + c \geq 2 \sqrt{a c}, a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Xét $(a + 2 b) (a + 2 c) = a^{2} + 2 a c + 2 a b + 4 b c = a^{2} + 2 a (b + c) + 4 b c \geq a^{2} + 2 a.2 \sqrt{b c} + 4 b c$

$\Leftrightarrow (a + 2 b) (a + 2 c) \geq a^{2} + 4 a \sqrt{b c} + 4 b c$ hay $(a + 2 b) (a + 2 c) \geq {(a + 2 \sqrt{b c})}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} \geq a + 2 \sqrt{b c}$

Tương tự ta có: $\sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} \geq b + 2 \sqrt{a c}$

$\sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq c + 2 \sqrt{a b}$

Suy ra $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq a + b + c + 2 (\sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c})$

Hay $3 \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \Leftrightarrow 3 \geq 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ .

Thay $a = b = c = \frac{1}{3}$ vào biểu thức M ta có:

$M = {(2. \sqrt{\frac{1}{3}} + 3. \sqrt{\frac{1}{3}} - 4. \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = \frac{1}{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,643

Câu 2:

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,080

Câu 3:

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

A. $x \geq 8$

x > 8

x < 8

x \leq 8

Xem đáp án » 04/02/2023 947

Câu 4:

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Xem đáp án » 13/07/2024 745

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

A. 10cm

\sqrt{14} c m

\sqrt{2} c m

D. 14cm

Xem đáp án » 04/02/2023 677

Câu 6:

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 657

Câu 7:

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

Chứng minh tam giác OAK cân tại K.

Xem đáp án » 04/02/2023 549

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án

2 đề 45,415 lượt thi Thi thử
21 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai có đáp án

2 đề 13,159 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,639 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,853 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 11,012 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,452 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,428 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 9,043 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,757 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,551 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc nhất: y=k−2x+k2−2k ; (k là tham số) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho O;R , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K. Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức x−8 là

Cho biểu thức P=1a+1−1a+a:a−1a+2a+1 với a>0 và a≠1 . Rút gọn P.

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

Tìm x, biết: x−1+4x−4=9 .

Cho O;R , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh tam giác OAK cân tại K.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

Chứng minh tam giác OAK cân tại K.