Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: a+b≥2ab Dấu “=” xảy ra khi a=b . Sử dụng các hằng đẳng thức: x+y2=x2+2xy+y2, x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+xz+yz . Cách giải: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: b+c≥2bc, a+c≥2ac, a+b≥2ab Xét a+2ba+2c=a2+2ac+2ab+4bc=a2+2ab+c+4bc≥a2+2a.2bc+4bc ⇔a+2ba+2c≥a2+4abc+4bc hay a+2ba+2c≥a+2bc2 ⇒a+2ba+2c≥a+2bc Tương tự ta có: b+2ab+2c≥b+2ac c+2ac+2b≥c+2ab Suy ra a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b≥a+b+c+2ab+ac+bc Hay 3≥a+b+c2⇔3≥3 Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=13 . Thay a=b=c=13 vào biểu thức M ta có: M=2.13+3.13−4.132=132=13

Câu hỏi:

13/07/2024 362

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$ .

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}, {(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + x z + y z)$ .

Cách giải:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b + c \geq 2 \sqrt{b c}, a + c \geq 2 \sqrt{a c}, a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Xét $(a + 2 b) (a + 2 c) = a^{2} + 2 a c + 2 a b + 4 b c = a^{2} + 2 a (b + c) + 4 b c \geq a^{2} + 2 a.2 \sqrt{b c} + 4 b c$

$\Leftrightarrow (a + 2 b) (a + 2 c) \geq a^{2} + 4 a \sqrt{b c} + 4 b c$ hay $(a + 2 b) (a + 2 c) \geq {(a + 2 \sqrt{b c})}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} \geq a + 2 \sqrt{b c}$

Tương tự ta có: $\sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} \geq b + 2 \sqrt{a c}$

$\sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq c + 2 \sqrt{a b}$

Suy ra $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq a + b + c + 2 (\sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c})$

Hay $3 \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \Leftrightarrow 3 \geq 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ .

Thay $a = b = c = \frac{1}{3}$ vào biểu thức M ta có:

$M = {(2. \sqrt{\frac{1}{3}} + 3. \sqrt{\frac{1}{3}} - 4. \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = \frac{1}{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,411

Câu 2:

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,634

Câu 3:

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

A. $x \geq 8$

x > 8

x < 8

x \leq 8

Xem đáp án » 04/02/2023 1,083

Câu 4:

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Xem đáp án » 13/07/2024 852

Câu 5:

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 833

Câu 6:

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

Chứng minh tam giác OAK cân tại K.

Xem đáp án » 04/02/2023 801

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

A. 10cm

\sqrt{14} c m

\sqrt{2} c m

D. 14cm

Xem đáp án » 04/02/2023 756

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

Chứng minh tam giác OAK cân tại K.

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số bậc nhất: y=k−2x+k2−2k ; (k là tham số) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho O;R , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K. Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức x−8 là

Cho biểu thức P=1a+1−1a+a:a−1a+2a+1 với a>0 và a≠1 . Rút gọn P.

Tìm x, biết: x−1+4x−4=9 .

Cho O;R , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh tam giác OAK cân tại K.

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

Chứng minh tam giác OAK cân tại K.