Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{3}$ và $\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2\text{a}\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2\text{a}\right)\left(c+2b\right)}=3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M={\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}-4\sqrt{c}\right)}^2$ .

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b$ .

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${\left(x+y\right)}^2=x^2+2\text{x}y+y^2,{\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+x\text{z}+yz\right)$ .

Cách giải:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{3}$ và $\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2\text{a}\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2\text{a}\right)\left(c+2b\right)}=3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M={\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}-4\sqrt{c}\right)}^2$ .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b+c\ge 2\sqrt{bc},a+c\ge 2\sqrt{ac},a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Xét $\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)=a^2+2\text{a}c+2\text{a}b+4bc=a^2+2\text{a}\left(b+c\right)+4bc\ge a^2+2\text{a.2}\sqrt{bc}+4bc$

$\iff \left(a+2b\right)\left(a+2c\right)\ge a^2+4\text{a}\sqrt{bc}+4bc$ hay $\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)\ge {\left(a+2\sqrt{bc}\right)}^2$

$\Rightarrow \sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}\ge a+2\sqrt{bc}$

Tương tự ta có: $\sqrt{\left(b+2\text{a}\right)\left(b+2c\right)}\ge b+2\sqrt{ac}$

$\sqrt{\left(c+2\text{a}\right)\left(c+2b\right)}\ge c+2\sqrt{ab}$

Suy ra $\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2\text{a}\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2\text{a}\right)\left(c+2b\right)}\ge a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)$

Hay $3\ge {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}^2\iff 3\ge 3$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=c=\frac{1}{3}$ .

Thay $a=b=c=\frac{1}{3}$  vào biểu thức M ta có:

$M={\left(2.\sqrt{\frac{1}{3}}+3.\sqrt{\frac{1}{3}}-4.\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}^2={\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}^2=\frac{1}{3}$