Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: a+b≥2ab Dấu “=” xảy ra khi a=b . Sử dụng các hằng đẳng thức: x+y2=x2+2xy+y2, x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+xz+yz . Cách giải: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 . Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: b+c≥2bc, a+c≥2ac, a+b≥2ab Xét a+2ba+2c=a2+2ac+2ab+4bc=a2+2ab+c+4bc≥a2+2a.2bc+4bc ⇔a+2ba+2c≥a2+4abc+4bc hay a+2ba+2c≥a+2bc2 ⇒a+2ba+2c≥a+2bc Tương tự ta có: b+2ab+2c≥b+2ac c+2ac+2b≥c+2ab Suy ra a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b≥a+b+c+2ab+ac+bc Hay 3≥a+b+c2⇔3≥3 Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=13 . Thay a=b=c=13 vào biểu thức M ta có: M=2.13+3.13−4.132=132=13

Câu hỏi:

19/08/2025 744

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$ .

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}, {(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + x z + y z)$ .

Cách giải:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b + c \geq 2 \sqrt{b c}, a + c \geq 2 \sqrt{a c}, a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

Xét $(a + 2 b) (a + 2 c) = a^{2} + 2 a c + 2 a b + 4 b c = a^{2} + 2 a (b + c) + 4 b c \geq a^{2} + 2 a.2 \sqrt{b c} + 4 b c$

$\Leftrightarrow (a + 2 b) (a + 2 c) \geq a^{2} + 4 a \sqrt{b c} + 4 b c$ hay $(a + 2 b) (a + 2 c) \geq {(a + 2 \sqrt{b c})}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} \geq a + 2 \sqrt{b c}$

Tương tự ta có: $\sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} \geq b + 2 \sqrt{a c}$

$\sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq c + 2 \sqrt{a b}$

Suy ra $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} \geq a + b + c + 2 (\sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c})$

Hay $3 \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \Leftrightarrow 3 \geq 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ .

Thay $a = b = c = \frac{1}{3}$ vào biểu thức M ta có:

$M = {(2. \sqrt{\frac{1}{3}} + 3. \sqrt{\frac{1}{3}} - 4. \sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} = \frac{1}{3}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Xem đáp án

Lời giải

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên $k - 2 \neq 0 \Leftrightarrow k \neq 2$ và tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $(2; 0)$ .

Thay $x = 2; y = 0$ vào hàm số đã cho ta được:

$0 = (k - 2) .2 + k^{2} - 2 k \Leftrightarrow k^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow k^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 2 (k t m) \\ k = - 2 (t m) \end{array}$

Vậy $k = - 2$ .

Câu 2

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Vì AB là tiếp tuyến của $(O; R)$ nên $A B ⊥ O B$ tại B.

Xét tam giác OAB vuông tại B có $O A = 2 R$ (gt), $O B = R$ . Theo định lý Pytago ta có:

$A B^{2} = O A^{2} - O B^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$ nên $A B = R \sqrt{3}$ .

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, AC=8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng

A. 10cm

\sqrt{14} c m

\sqrt{2} c m

D. 14cm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

A. $x \geq 8$

x > 8

x < 8

x \leq 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .

Tìm a để P có giá trị bằng 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{(a + 2 b) (a + 2 c)} + \sqrt{(b + 2 a) (b + 2 c)} + \sqrt{(c + 2 a) (c + 2 b)} = 3$ .

Tính giá trị của biểu thức $M = {(2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 4 \sqrt{c})}^{2}$ .

Cho hàm số bậc nhất: $y = (k - 2) x + k^{2} - 2 k$ ; (k là tham số)
Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho $(O; R)$ , lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .
Rút gọn P.

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x - 8}$ là

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{a + \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2 \sqrt{a} + 1}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ .

Tìm a để P có giá trị bằng 2.

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{4 x - 4} = 9$ .