Câu hỏi:

19/08/2025 864

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$
Lấy M trên cung nhỏ AC của (O) vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E,F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE. Chứng minh rằng: $Δ M A C ~ Δ I F E .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ đường kính CP của $(O; R)$

Ta có: $∠ P O A$ là góc ngoài của tam giác OAC nên $∠ P O A = ∠ O C A + ∠ O A C$ mà $∠ O A C = ∠ O C A$ (do tam giác OAC cân tại O) nên $∠ P O A = 2 ∠ A C O .$

Lại có $∠ P O M$ là góc ngoài của tam giác OCM nên $∠ P O M = ∠ O C M + ∠ O M C$ mà $∠ O C M = ∠ O M C$ (do tam giác OCM cân tại O) nên $∠ P O M = 2 ∠ M C O .$

Do đó: $∠ P O M - ∠ P O A = 2 (∠ M C O - ∠ A C O)$ hay $∠ M O A = 2 ∠ M C A .$

Xét tứ giác EMOA có $∠ E A O = ∠ E M O = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến)

Nên $∠ M O A + ∠ A E M = 360 ° - (∠ E A O + ∠ E M O) = 180 °$

Mà $∠ A E M + ∠ B E F = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $∠ M O A = ∠ B E F$ (cùng bù với $∠ A E M$ )

Lại có $∠ B E F = 2 ∠ I E F$ (do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF)

Và $∠ M O A = 2 ∠ M C A (c m t)$

Suy ra $∠ I E F = ∠ M C A$

Chứng minh tương tự:

Ta có $∠ D O M$ là góc ngoài của tam giác cân $A O M \Rightarrow ∠ D O M = 2 ∠ M A O$

$∠ D O C$ là góc ngoài của tam giác cân $A O C \Rightarrow ∠ D O C = 2 ∠ C A O$

Trừ vế với vế ta được: $∠ M O C = 2 ∠ M A C$

Lại có $∠ M F C + ∠ M O C = 360 ° - (∠ F M O - ∠ C F O) = 180 °$

Và $∠ M F C + ∠ B F E = 180 ° \Rightarrow ∠ B F E = ∠ C O M$

Mà $∠ C O M = 2 ∠ M A C; ∠ B F E = 2 ∠ I F E$ nên $∠ I F E = ∠ M A C$

Xét tam giác IEF và tam giác MCA có: $∠ I F E = ∠ M A C$ và $∠ I E F = ∠ M C A (c m t)$ nên $Δ I E F$ đồng dạng với $Δ M C A$ (đpcm).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$

$y = 0 \Rightarrow x = - 1$

Đồ thị hàm số $y = 2 x + 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0; 2)$ và $(- 1; 0)$

Câu 2

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện xác định: $x > 0; x \neq 9$

$P = A . B = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}} . \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9 + 16}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6$

Với mọi $x > 0, x \neq 9$ ta có: $\sqrt{x} + 3 > 0; \frac{16}{\sqrt{x} + 3} > 0.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $(\sqrt{x} + 3)$ và $\frac{16}{\sqrt{x} + 3}$ ta có:

$(\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 3) . \frac{16}{\sqrt{x} + 3}} \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 8 \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6 \geq 2$

Hay $P \geq 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} + 3 = \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \Rightarrow {(\sqrt{x} + 3)}^{2} = 16$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} + 3 = 4 \\ \sqrt{x} + 3 = - 4 (k t m) \end{array} \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1 (t m)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $2 \Leftrightarrow x = 1.$

Câu 3

Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b, với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông 1 góc bằng $60 °$ .Tính chiều rộng khúc sông

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$