Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Điều kiện xác định: x>0;x≠9 P=A.B=x+73x.3xx+3=x+7x+3=x−9+16x+3=x−3x+3x+3+16x+3=x−3+16x+3=x+3+16x+3−6 Với mọi x>0,x≠9 ta có:x+3>0;16x+3>0. Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương x+3 và 16x+3 ta có: x+3+16x+3≥2x+3.16x+3⇔x+3+16x+3≥8⇔x+3+16x+3−6≥2 Hay P≥2. Dấu “=” xảy ra khi x+3=16x+3⇒x+32=16 ⇔x+3=4x+3=−4ktm⇒x=1⇔x=1tm Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2⇔x=1.

Câu hỏi:

13/07/2024 7,503

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện xác định: $x > 0; x \neq 9$

$P = A . B = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}} . \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9 + 16}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6$

Với mọi $x > 0, x \neq 9$ ta có: $\sqrt{x} + 3 > 0; \frac{16}{\sqrt{x} + 3} > 0.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $(\sqrt{x} + 3)$ và $\frac{16}{\sqrt{x} + 3}$ ta có:

$(\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 3) . \frac{16}{\sqrt{x} + 3}} \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 8 \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6 \geq 2$

Hay $P \geq 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} + 3 = \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \Rightarrow {(\sqrt{x} + 3)}^{2} = 16$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} + 3 = 4 \\ \sqrt{x} + 3 = - 4 (k t m) \end{array} \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1 (t m)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $2 \Leftrightarrow x = 1.$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án » 13/07/2024 4,735

Câu 2:

Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b, với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông 1 góc bằng $60 °$ .Tính chiều rộng khúc sông

Xem đáp án » 13/07/2024 2,841

Câu 3:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án » 13/07/2024 1,192

Câu 4:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,099

Câu 5:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Xem đáp án » 05/02/2023 1,044

Câu 6:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$

Xem đáp án » 05/02/2023 490

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Bình luận

Cho đường thẳng d1:y=2x+2. Vẽ đường thẳng d1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Cho đường thẳng d1:y=2x+2. Cho đường thẳng d3:y=mx+5. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng d1,d2,d3 cắt nhau tại một điểm.

Lấy điểm A trên O;R, vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax, lấy điểm B, trên O;R lấy điểm C sao cho BC=AB. Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD Chứng minh rằng: CD//OB và BC.DC=CK.OB.

Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Tính A khi x=25

Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Chứng minh: B=3xx+3.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$