Cho đường thẳng $\left(d_1\right):y=2x+2.$

Vẽ đường thẳng $\left(d_1\right)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Điều kiện xác định: $x>0;x\ne 9$

$$\begin{gathered} P=A.B=\frac{x+7}{3\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3} \\ =\frac{x-9+16}{\sqrt{x}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}+\frac{16}{\sqrt{x}+3} \\ =\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}=\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6 \end{gathered}$$

Với mọi $x>0,x\ne 9$  ta có:$\sqrt{x}+3>0;\frac{16}{\sqrt{x}+3}>0.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $\left(\sqrt{x}+3\right)$  và $\frac{16}{\sqrt{x}+3}$  ta có:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\ge 2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\frac{16}{\sqrt{x}+3}} \\ \iff \left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\ge 8 \\ \iff \left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6\ge 2 \end{gathered}$$

Hay $P\ge 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}+3=\frac{16}{\sqrt{x}+3}\Rightarrow {\left(\sqrt{x}+3\right)}^2=16$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x}+3=4\\ \sqrt{x}+3=-4\left(ktm\right)\end{array}\right.\Rightarrow \sqrt{x}=1\iff x=1\left(tm\right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $2\iff x=1.$

Kẻ $DH\perp b$  tại H. Khi đó chiều rộng khúc sông là đoạn DH

Đổi 20 phút$=\frac{1}{3}h.$

Độ dài đường đi của thuyền là $DE=\frac{1}{3}.2=\frac{2}{3}km$

Ta có $\angle HDE=90°-60°=30°$

Xét tam giác DHE vuông tại H, theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:

$\cos \angle HDE=\frac{DH}{DE}\Rightarrow DH=DE.\cos 30°=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy chiều rộng khúc sông là $\frac{\sqrt{3}}{3}km.$