Cho (O; R)  có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N , đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác OMNP nội tiêp

Gọi vận tốc riêng của ca nô đi xuôi dòng là x (km/h)

Vận tốc riêng của ca nô đi ngược dòng là y (km/h)

       ( x > 0 ; y > 3)

Vận tốc thực tế của ca nô xuôi dòng là   x + 3 (km/h)

Vận tốc thực tế của ca nô ngược  dòng là   y -  3 (km/h)

Đổi  1 giờ 40 phút  = $\frac{5}{3}$giờ

Theo đề bài ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}(x+3)-(y-3)=9\\ \text{[(x+3)+(y-3)].}\frac{5}{3}=85\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình ta tính được  x = 27  ; y = 24

Cả hai giá trị x và y đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy    Vận tốc riêng của ca nô đi xuôi dòng là 27 km/h

Điều kiện để hệ phương trình có nghĩa x ≠ 2; y ≠ 1

Đặt ẩn phụ : $X=\frac{1}{x-2};Y=\frac{1}{y-1}$

Ta có hệ phương trình mới : $\left\{\begin{array}{l}X+Y=1\\ 2X-3Y=1\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình này ta được: $X=\frac{4}{5};Y=\frac{1}{5}$

Với $X=\frac{4}{5}=\frac{1}{x-2}$, tính được $x=\frac{13}{4}$

Với $Y=\frac{1}{5}=\frac{1}{y-1}$, tính được $y=6$