Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N. Gọi H là giao điểm của SO và AB;  I là trung điểm MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E.

a)  Chứng minh IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h). ĐK : x > 0

Vận tốc của xe du lịch là : x + 20 (km/h)                                                

Thời gian xe khách đi hết AB là: $\frac{100}{x}\left(h\right)$

Thời gian xe du lịch đi hết AB là: $\frac{100}{x+20}\left(h\right)$

         50 phút = $\frac{5}{6}$giờ            

Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{100}{x}-\frac{100}{x+20}=\frac{5}{6}$

Giải phương trình ta được: x₁ = 40 (Nhận)

                                            x₂ = - 60 (Loại)                                           

Trả lời: Vận tốc của xe khách là 40 km/h

b) $△$SOI ~ $△$EOH ( g.g)

$\frac{OI}{OH}=\frac{OS}{OE}\Rightarrow OI.OE=\text{\hspace{0.17em}}OH.OS$

mà OH.OS = OB² = R² ( hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)

nên OI.OE = R²