Cho tam giác ABC ( AB<AC) có ba góc nhọn nội tieps trong đường tròn tâm O ,bán kính R .Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD,BE, CF của tam giác

a)    Chứng minh rằng $A E H F$ và $A E D B$   là tứ giác nội tiếp đường tròn .

b)    Vẽ đường kính AK của đường tròn O Chứng minh tam giác ABD   và tam giác AKC đồng dạng với nhau . Suy ra $A B . A C = 2 R . A D .$

c)    Chứng minh rằng OC vuông góc với DE

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi giữa học kì 2 Toán 9 hay nhất năm 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC ( AB<AC) có ba góc nhọn nội tieps trong đường tròn tâm O ,bán kính R .Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD,BE, CF (ảnh 1)

Ta có: $∠ A E H = 90 °$ và $∠ A F H = 90 °$

Do đó $∠ A E H + ∠ A F H = 180 ° \Rightarrow A E H F$ là tứ giác nội tiếp

Ta lại có $∠ A E B = ∠ A D B = 90 ° \Rightarrow E, D$ cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc vuông

$\Rightarrow A E D B$ là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: $∠ A C K = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

2 tam giác vuông $A D B$ và ACK có: $∠ A B D = ∠ A K C$ (cùng chắn $\overset{⏜}{A C})$

$\Rightarrow Δ A B D ∽ Δ A K C (g . g)$

$\Rightarrow \frac{A B}{A K} = \frac{A D}{A C} \Rightarrow A B . A C = A K . A D \Rightarrow A B . A C = 2 R . A D$

c) Vẽ tiếp tuyến xy tại C của $(O)$ . Ta có: $O C ⊥ C x (1)$

Mặt khác, AEDB nội tiếp $\Rightarrow ∠ A B C = ∠ D E C$

Mà $∠ A B C = ∠ A C x$ nên $∠ A C x = ∠ D E C \Rightarrow C x / / D E (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $O C ⊥ D E$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Với x,y không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P = x - 2 \sqrt{x y} + 3 y - 2 \sqrt{x} + 2009, 5$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $\sqrt{x} = a, \sqrt{y} = b$ với $a, b \geq 0$ ta có:

$\begin{array}{l} P = a^{2} - 2 a b + 3 b^{2} - 2 a + 2009, 5 \\ = a^{2} - 2 (b + 1) a + 3 b^{2} + 2009, 5 \\ = a^{2} - 2 (b + 1) a + {(b + 1)}^{2} + 2 b^{2} - 2 b + 2008, 5 \\ = {(a - b - 1)}^{2} + 2 (b^{2} - b) + 2008, 5 \\ = {(a - b - 1)}^{2} + 2 {(b - \frac{1}{2})}^{2} + 20008 \geq 2008 \end{array}$

$\Rightarrow P_{\min} = 2008 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{9}{4} \\ y = \frac{1}{4} \end{cases}$

Câu 2

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình :

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo . Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày , tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo . Biết rằng trong một ngày ,tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo . Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số áo tổ 1, tổ 2 may được

Theo bài ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 1310 \\ x - y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 170 \\ y = 160 \end{cases} (t m)$