Cho đường tròn (O,R) đi qua 3 đỉnh tam giác $ABC,A=60°;B=70°$

1)    Tính số đo các góc $BOC,COA,AOB$

2)    So sánh các cung nhỏ $BC,CA,AB$ .

3)    Tính  BC  theo  R.

a)  

Do $SA,SBC$là hai tiếp tuyến, cát tuyến của (O) nên $\Delta ABC$ nội tiếp (O) $\Rightarrow \angle A_1=\angle C_1$(cùng chắn cung $AB)$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ABC$có: $\angle CAB=\angle NAM\left(chung\right);\angle A_1=\angle C_1\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta AMN\backsim \Delta ABC(g.g)$

b)    Xét tứ giác $BCMN$có: $\angle N_1+\angle MNB=180°$và $\angle N_1=\angle C_1$

Mà $\angle C_1,\angle MNB$ đối nhau nên $BCNM$là tứ giác nội tiếp

c)    Xét $\Delta SBA$ và $\Delta SAC$có : $\angle S$chung, $\angle A_1=\angle C_1\Rightarrow \Delta SBA\backsim \Delta SAC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{SB}{SA}=\frac{SA}{SC}=\frac{AB}{AC}\left(1\right)$

Do AD là phân giác của $\Delta ABC$ nên :

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ (tính chất phân giác ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{SB}{SA}=\frac{SA}{SC}\Rightarrow S{A}^2=SB.SC$

Xét $\Delta SAD$ có: 

$\angle SDA=\angle A_3+\angle C_1\left(\angle DAC+\angle C_1\right);\angle SAD=\angle DAB+\angle A_1$

Mà $\Rightarrow \angle SDA=\angle SAD\Rightarrow \Delta SAD$(phân giác)

$\Rightarrow SA=SD\Rightarrow S{D}^2=SB.SC$cân tại S

$\Rightarrow SA=SD\Rightarrow S{D}^2=SB.SC$

d)    Tứ giác $EABC$ nội tiếp nên $\angle AEB=\angle C_1=\angle A_1$(cùng nhìn cung AB)

Mà $\angle AEB=\angle ABE\left(\Delta ABE\right.$cân)$\Rightarrow \angle ABE=\angle A_1$mà 2 góc ở vị trí so le trong

Nên $BE//SA$mà $OA\perp SA$(tính chất tiếp tuyến ) $\Rightarrow AO\perp BE\left(dfcm\right)$