Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
\(Q = \frac{x}{{x + \sqrt {x + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {z + xy} }}\).
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
\(Q = \frac{x}{{x + \sqrt {x + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {z + xy} }}\).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: x + yz = x(x + y + z) + yz
= x2 + yz + x(y + z) = A
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
A \( \ge 2x\sqrt {yz} + x\left( {y + z} \right)\left( {{x^2} + yz \ge 2\sqrt {{x^2}yz} } \right)\)\( = x{\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)^2}\).
Hay \(x + yz \ge x{\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)^2}\).
Tương tự ta có: \(y + zx \ge y{\left( {\sqrt z + \sqrt x } \right)^2}\);
\(z + xy \ge z{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}\).
Khi đó ta có:
\(P \le \frac{x}{{x + \sqrt {x{{\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)}^2}} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {y{{\left( {\sqrt z + \sqrt x } \right)}^2}} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {z{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}} }}\)
\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y + \sqrt z + \sqrt x }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt z + \sqrt x + \sqrt y }}\)
\( = \frac{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} = 1\).
Vậy Pmax = 1 khi \(x = y = z = \frac{1}{3}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: \(S = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Trong đó: S là diện tích tam giác đều; a là độ dài cạnh của tam giác.
Câu 2
A. 720;
B. 1440;
C. 18 720;
D. 40 320.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
• TH1. Ông An đứng ở đầu hàng, bà An đứng ở cuối hàng và 6 người con đứng ở giữa.
Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.
• TH2. Ông An đứng ở cuối, bà An đứng ở đầu hàng và 6 người con đứng ở giữa.
Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.
Số cách xếp hàng khác nhau nếu ông hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là:
2 . 6! = 2 . 720 = 1 440 (cách)
Vậy có 1 440 cách cần tìm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 39;
B. 26;
C. 29;
D. 36.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập