5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

Câu 1/126

Cho tam giác ABC, M, N, P được xác định bởi véctơ $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M}, \vec{A N} = - 3 \vec{C N}, \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$ .

Chứng minh M, N, P thẳng hàng?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\vec{M A} = - \frac{3}{4} \vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{M B}; \vec{A N} = - 3 \vec{C N} = 3 \vec{N C}; \vec{C P} = \frac{1}{4} \vec{P B}$

Ta lại có: $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{M B} + 3 \vec{N C} = \frac{3}{4} \vec{M P} + \frac{3}{4} \vec{P B} + 3 \vec{N P} + 3 \vec{P C}$

_{$\Leftrightarrow \vec{M N} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{C P} + 3 \vec{N P} - 3 \vec{C P} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{N P}$}

_{$\Leftrightarrow \vec{M P} + \vec{P N} = \frac{3}{4} \vec{M P} + 3 \vec{N P}$}

_{$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \vec{M P} = 4 \vec{N P} \Leftrightarrow \vec{M P} = 16 \vec{N P}$}

Do đó M, N, P thằng hàng.

Câu 2/126

Cho a,b ≠ -2 thỏa mãn (2a + 1) (2b + 1) = 9

Tính giá trị biểu thức $M = \frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có :

$2 b + 1 = \frac{9}{2 a + 1} \Rightarrow b = \frac{4 - a}{2 a + 1} \Rightarrow b + 2 = \frac{4 - a}{2 a + 1} + 2 = \frac{3 a + 6}{2 a + 1}$

$M = \frac{1}{a + 2} + \frac{2 a + 1}{3 a + 6} = \frac{1}{a + 2} + \frac{2 a + 1}{3 (a + 2)} = \frac{3 + 2 a + 1}{3 (a + 2)} = \frac{2 (a + 2)}{3 (a + 2)} = \frac{2}{3}$

Câu 3/126

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$ với a > 0, b > 0

Xem đáp án

Lời giải

Xét hiệu

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b} = \frac{b (a + b) + a (a + b) - 4 a b}{a b (a + b)} = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a b (a + b)} = \frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a + b)} \geq 0$ , vì a, b > 0

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b.

Câu 4/126

Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng _{$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$}

Xem đáp án

Lời giải

_{$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + b) \geq 4$}

_{$\Leftrightarrow 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 \geq 4$}

_{$\Leftrightarrow \frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \geq 2$}

Vì a > 0 và b > 0 ⇒ ab > 0

Vậy $\frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \geq 2 \Leftrightarrow b^{2} + a^{2} \geq 2 a b$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} \geq 0$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 5/126

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được 1 cạnh. Có bao nhiêu cách di chuyển quân từ điểm A tới điểm B bằng 9 bước ?

Xem đáp án

Lời giải

Để đi từ A đến B qua 9 bước thì chỉ có 1 cách đi duy nhất là các bước đi đều phải đi từ dưới lên hoặc đi từ trái qua phải.

Gọi M(i; j) là điểm bất kì nằm ở hàng i cột j với $i = \bar{1; 5}$ và _{$j = \bar{1; 6}$}.

Để đến được điểm M thì chỉ có 3 cách đi đó là từ điểm có tọa độ (i − 1; j) hoặc (i; j − 1) như hình vẽ dưới:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 2)

Gọi số cách đi đến M là f(i; j) thì theo quy tắc cộng ta có

$f (i; j) = f (i - 1; j) + f (i; j - 1)$

Từ đó ta được kết quả sau:

Trên bàn cờ 5 x 4 ô vuông như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển quân theo (ảnh 3)

Vậy có 126 cách đi thỏa mãn

Câu 6/126

Căn bậc hai của (a – b)² là:

A. a – b;

B. b – a;

C. |a – b|;

D. a – b và b – a.

Lời giải

Ta có: $\sqrt{{(a - b)}^{2}} = |a - b|$ .

Đáp án đúng là: C.

Câu 7/126

Rút gọn

a) $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}}$ ;

b) $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$ (vì $\sqrt{2} - 1$ )

Vậy $\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = \sqrt{2} - 1$ .

b) $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ (vì )

Vậy $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{5} - 2$ .

Câu 8/126

Tìm x

_{$3^{2 x} - 3^{x} = 72$}

Xem đáp án

Lời giải

_{$3^{2 x} - 3^{x} = 72$}

Ta có: $3^{1} = 3; 3^{2} = 9; 3^{3} = 27; 3^{4} = 81$ mà 81 – 9 = 72 nên x = 2

_{$\Rightarrow 3^{2.2} - 3^{2} = 72$}

Câu 9/126