5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 11)

Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q, E, F là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh:

a) MN = PQ và NP = MQ.

b) MF = PE và ME = PF.

c) Tứ giác MEPF và tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Cho hình chữ nhật ABCD, O là giao điểm hai đường chéo; M ∈ CD và N ∈ AB sao cho DM = BN.

a) Chứng minh ANCM là hình bình hành, từ đó suy ra các điểm M, O, N thẳng hàng.

b) Qua M kẻ đuờng thẳng song song vói AC cắt AD ở E, qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F. Chứng minh tứ giác ENFM là hình bình hành.

c) Tìm vị trí của điểm M, N để ANCM là hình thoi.

d) BD cắt NF tại I.  Chứng minh I là trung điểm của NF

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B và C là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của đường tròn (O).

a) Chứng minh OA ⊥ BC.

b) Chứng minh: BD // OA.

c) Kẻ BH ⊥ CD. Gọi K là giao điểm của BH và AD. Chứng minh K là trung điểm của BH.

Cho bốn số nguyên liên tiếp.

a) Hỏi tích của số đàu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số ở giữa là bao nhiêu đơn vị?

b) Giả sử tích của số đàu với số thư ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và số thứ tư là 99, hãy tìm bốn số nguyên đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N.

Chứng minh rằng NG // (SCD).

c) Chứng minh rằng MG // (SCD).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác vẽ các hình vuông ABDE, ACGH.

a) Chứng minh tứ giác BCHE là hình thang cân.

b) Vẽ đường cao AK của tam giác ABC. Chứng minh AK, DE, GH đồng quy.

Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là ℝ (hay luôn xác định trên ℝ):

a) \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 3m + 5}}\].

b) \[\sqrt {{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + m - 6} \].

c) \[\frac{{3x + 5}}{{\sqrt {{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9} }}\].

Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN cùa đường tròn (O') sao cho AM ⊥ AN. Gọi BC là một tiếp tuyến chung ngoài của hai dường tròn (O) và (O') với B Î (O), C Î (O').

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, BC và OO' đồng quy.

b) Xác định vị trí của điểm M và N để tứ giác MNO'O có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

Cho tam giác ABC có \(\widehat C = 90^\circ \). Kẻ CH vuông góc với AB. Trên AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh rằng:

a) MN ^ AC.

b) AC + BC < AB + CH.

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \frac{1}{2}\).

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a) So sánh độ dài AM, DE.

b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.

Định m để hàm số:

a) y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên tập xác định.

b) y = mx³ − (2m − 1)x² + (m − 2)x − 2 đồng biến trên tập xác định.

Cho hàm số bậc nhất y = (2m − 1)x + m − 1 (d)

a) Tìm m để hàm số đồng biến.

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại một điểm trên trục tung.

c) Cho m = 2 vẽ đường thẳng (d) và khoảng cách từ gốc tọa dộ đến đường thẳng (d).

Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ BH vuông góc AC tại H, tia BH cắt CD tại I và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh:

a) AC . AH = BH . BK.

b) BH² = HI . HK.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) BC // DE.

b) Tứ giác BCED là hình thang cân.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 41 cm, AC = 40 cm. Tính:

a) Độ dài cạnh AB.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc.

Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Tìm GTNN:

a) A = x² − xy + y² − 3x − 3y;

b) B = 2x² + 2xy + 5y² − 8x − 22y.

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\);

c) Chứng minh MI.MK = MP²;

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA ^ BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.

Cho biểu thức \(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\).

1. Rút gọn M.

2. Tìm x để M ≥ 1.

3. Tìm GTLN của biểu thức M.

Có bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có 3 chữ số khác nhau?

b) Là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?

c) Là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?

d) Là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; \(SA = a\sqrt 3 \); SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB; SD, mặt phẳng (AMN) cắt SC tại I. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMIN