65 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số đi qua điểm $N(-2;0)$

Ta có: $0={\left(-2\right)}^4-2m{\left(-2\right)}^2+2m-4\iff m=2$

Đáp án B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

$$\begin{gathered} \left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)=m\left(x-4\right) \\ \Rightarrow \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}=m\left(1\right)\left(x\ne 4\right) \end{gathered}$$

Só nghiệm của (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ và y = m

Ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2-9\right)\left(x-4\right)+2x\left(x^2-1\right)\left(x-4\right)-\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}{{\left(x-4\right)}^2} \\ =\frac{3x^4-16x^3-10x^2+80x-9}{{\left(x-4\right)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^4-16x^3-10x^2+80x-9=0 \end{gathered}$$

Giải phương trình ta được 4 nghiệm: $\left[\begin{array}{c}{x}_1\approx -2,169\\ x_2\approx 0,114\\ x_3\approx 2,45\\ x_4\approx 4,94\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\iff$ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ tại 4 điểm phân biệt $\iff m\in \left(-2,28;2,58\right)$

Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=3{\left(x+m\right)}^2+3{\left(x+n\right)}^2-3x^2 \\ =3\left[x^2+2\left(m+n\right)x+m^2+n^2\right] \end{gathered}$$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.\iff mn\le 0$

TH1: $mn=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ n=0\end{array}\right.$

Do vai trò của m, n như nhau nên ta chỉ xét trường hợp m = 0

$\Rightarrow P=4n^2-n={\left(2n-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\left(1\right)$

TH2: $mn<0\iff m>0;n<0$ (do vai trò của m, n như nhau)

Ta có: $P={\left(2m-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}+4n^2+\left(-n\right)>-\frac{1}{16}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có $P_{\min }=-\frac{1}{16}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{8},n=0$ hoặc $m=0,n=\frac{1}{8}$

Đáp án A

Nhận xét: Số giao điểm của $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ với Ox bằng số giao điểm của $\left(C\text{'}\right):y=f(x-1)$ với Ox (vì đồ thị hàm số $\left(C\text{'}\right):y=f(x-1)$ có được chỉ là do ta tịnh tiến đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ sang phải 1 đơn vị)

Vì m > 0 nên $\left(C\text{'}\text{'}\right):y=f(x-1)+m$ có được bằng cách tịnh tiến $\left(C\text{'}\right):y=f(x-1)$ lên trên m đơn vị

Ta sẽ biện luận số giao điểm của $y=f(x-1)+m$ với trục Ox (cũng chính là giao điểm của $y=f(x-1)$ với y = - m) để suy ra cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$

+ TH1: $-m\le -6\iff m\ge 6$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại

+ TH2: $-6<-m<-3\iff 3<m<6$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị, nhận

+TH3: $-m=3\iff m=3$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị, nhận

+ TH4: $-3<-m<0\iff 0<m<3$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị, loại

Vậy $3\le m<6$. Do $m\in Z^{+}\Rightarrow m\in \left\{3;4;5\right\}$

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12

Đáp án B

Đặt $\sin x=t,x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t^2-mt-4$ trên $\left[0;1\right]$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+6t-m$

Để hàm số f(t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$ cần:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]\iff 3t^2+6t-m\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right] \\ \iff 3t^2+6t\ge m,\forall t\in \left[0;1\right] \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(t\right)=3t^2+6t$ trên $\left[0;1\right]$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)=6t+6 \\ g\text{'}\left(t\right)=0\iff t=-1\notin \left[0;1\right] \end{gathered}$$

BBT:

Nhìn bào BBT ta thấy với $m\le 0$ thì $g\left(t\right)\ge 0\ge m,\forall t\in \left[0;1\right]$, suy ra $f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]$ hay f (t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$

Vậy với  thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$

Đáp án B

Đạo hàm $y\text{'}=x^2-2ax-3a,y\text{'}=0\iff x^2-2ax-3a=0\left(1\right)$

Hàm số có hai cực trị $x_1,x_2$ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta \text{'}>0\iff a<-3$ hoặc a > 0.

Khi đó, $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình (1), theo định lí Vi-et: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2a\\ x_1.x_2=-3a\end{array}\right.$

Do đó, thay $\left\{\begin{array}{c}2a=x_1+x_2\\ 3a=-x_1.x_2\end{array}\right.$ vào đẳng thức bài cho ta được

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^2+2a{x}_2+9a=x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2-3x_1{x}_2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=4a^2+12a\\ x_2^2+2a{x}_1+9a=x_2^2+\left(x_1+x_2\right)x_1-3x_1{x}_2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=4a^2+12a\end{array}\right.$

Theo đề bài, ta có: $\frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}=2\iff \frac{4a+12}{a}=1\iff a=-4$

Đáp án C

Từ đồ thị ta thấy $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$ và $f\text{'}\left(x\right)>0\iff x>2$

Xét $g\left(x\right)=f\left(x^2-2\right)$ có TXĐ: D = R

$g\text{'}\left(x\right)=2xf\text{'}\left(x^2-2\right)=2x.f\text{'}\left(t\right)$ với $t=x^2-2$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ t=x^2-2=-1\\ t=x^2-2=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right.$

Có $f\text{'}\left(t\right)>0\iff t=x^2-2>2\iff \left[\begin{array}{c}x<-2\\ x>2\end{array}\right.$

$f\text{'}\left(t\right)<0\iff t=x^2-2<2\iff -2<x<2$

Suy ra:

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)>0\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ f\text{'}\left(t\right)>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ f\text{'}\left(t\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ x<-2;x>2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ -2<x<2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x>2\\ -2<x<0\end{array}\right. \\ g\text{'}\left(x\right)<0\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ f\text{'}\left(t\right)<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ f\text{'}\left(t\right)>0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ -2<x<2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ x<-2;x>2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}0<x<2\\ x<-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Bẳng biến thiên:

Vậy hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng $\left(-2;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$

Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;2\right)$

Vậy C sai

Đáp án C

Ta có: $y=3f\left(x+2\right)-x^3+3x\Rightarrow y\text{'}=3f\text{'}\left(x+2\right)-3x^2+3$

Xét $-1<x<0$ ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}1<x+2<2\Rightarrow f\text{'}\left(x+2\right)>0\\ x^2<1\iff x^2-1<0\end{array}\right. \\ \Rightarrow 3f\text{'}\left(x+2\right)-3x^2+3>0\forall x\in \left(-1;0\right) \end{gathered}$$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left(-1;0\right)$