$\int f (x) d x = \int \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} d x = \int \frac{2 (t - 2) + 1}{t^{2}} d t = \int \frac{2 t - 3}{t^{2}} d t = \int (\frac{2}{t} - \frac{3}{t^{2}}) d t$

$= 2 \ln |t| + \frac{3}{t} + C = 2 \ln |x + 2| + \frac{3}{x + 2} + C = 2 \ln (x + 2) + \frac{3}{x + 2} + C$ (Do x+2 > 0)

Câu 3

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]}$ ?

A. $\ln (x^{2} + 1) + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

B. $\ln (x^{2} + 1) + 2016 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

C. $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + 2016 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

D. $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

Lời giải

Hướng dẫn:

Đặt $I = \int \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]} d x$

+Ta có : $I = \int \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]} d x = \int \frac{x \ln (1 + x^{2}) + 2017 x}{(x^{2} + 1) [\ln (1 + x^{2}) + lne]} d x = \int \frac{x [\ln (1 + x^{2}) + 2017]}{(x^{2} + 1) [\ln (1 + x^{2}) + 1]} d x$

+ Đặt : $t = \ln (1 + x^{2}) + 1 \Rightarrow d t = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{t + 2016}{2 t} d t = \frac{1}{2} \int (1 + \frac{2016}{t}) d t = \frac{1}{2} t + 1008 \ln t + C \\ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{2} + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1] + C = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1] + C \end{array}

Vậy đáp án đúng là đáp án D.

Câu 4

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}})$ ?

A. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$

B. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$

C. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

D. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn:

Đặt : $\{\begin{cases} u = \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{16 x}{x^{4} - 16} \\ v = \frac{x^{4}}{4} - 4 = \frac{x^{4} - 16}{4} \end{cases}$

\Rightarrow \int x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x = (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - \int 4 x d x = (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2} + C

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Câu 5

Tìm $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ?

A. $I = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C$

B. $I = x + \ln |\sin x + \cos x| + C$

C. $I = x - \ln |\sin x + \cos x| + C$

D. $I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C$

Lời giải

Hướng dẫn:

Đặt : $T = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x$

\Rightarrow I + T = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x + \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = x + C_{1} (1)

Ta lại có :

\begin{array}{l} I - T = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x - \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \\ \Leftrightarrow I - T = - \int \frac{d (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = - \ln |\sin x + \cos x| + C_{2} (2) \end{array}

Từ $(1); (2)$ ta có hệ: $\{\begin{cases} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln |\sin x + \cos x| + C_{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C \\ T = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C \end{cases}$

Vậy đáp án đúng là đáp án D .

Câu 6

Tìm $I = \int \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x$ ?

A. $I = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x})) + C$

B. $I = x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x}) + C$

C. $I = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x})) + C$

D. $I = x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x}) + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

102 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài tập nguyên hàm có đáp án (Mới nhất)

🔥 Đề thi HOT:

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)

80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án

7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)

15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)

87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Nội dung liên quan:

22 câu trắc nghiệm: Nguyên hàm có đáp án

48 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (Nhận biết)

31 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (Thông hiểu)

15 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (Vận dụng)

70 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án

18 câu trắc nghiệm: Tích phân có đáp án

14 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Nhận biết)

15 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Thông hiểu)

15 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi:

Nguyên hàm của hàm số f(x)=x3+x là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+1(x+2)2 trên khoảng −2;+∞ là

Tìm nguyên hàm của hàm số fx=ln1+x2x+2017xlne.x2+ex2+1 ?

Tìm nguyên hàm của hàm số fx=x3ln4−x24+x2 ?

Tìm I=∫sinxsinx+cosxdx?

Tìm I=∫cos4xsin4x+cos4xdx?

Tìm Q=∫x−1x+1dx?

Tìm T=∫xn1+x+x22!+x33!+...+xnn!dx?

Tìm H=∫x2dxxsinx+cosx2?

Tìm T=∫dxxn+1n+1n?

Tìm R=∫1x22−x2+x dx?

Tìm F=∫xnexdx ?

Tìm G=∫2x2+1+2lnx.x+ln2xx2+xlnx2dx?

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K=∫7x−120172x+12019dx ?

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của gx=lnxx+12?

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hx=1−lnxx1−n.lnx.xn+lnnx?

Nguyên hàm của fx=x3−x2+2x là:

Nguyên hàm của fx=1x+2x3+3 là:

Nguyên hàm ∫1x2−7x+6dx là:

Nguyên hàm ∫2x3−6x2+4x+1x2−3x+2dx là:

Nguyên hàm ∫3x+3−x2−x+2dx là:

Nguyên hàm ∫1x+1+x+2dx là:

Nguyên hàm ∫sin2x+cosxdx là:

Nguyên hàm ∫e2x+1−2ex3dx là:

Nguyên hàm ∫sin2x+3+cos3−2xdx là:

Nguyên hàm ∫sin23x+1+cosxdx là:

Gọi Fx là nguyên hàm của hàm số fx=x+1−1x2. Nguyên hàm của fx biết F3=6 là:

Gọi Fx là nguyên hàm của hàm số fx=4x3+2m−1x+m+5, với m là tham số thực. Một nguyên hàm của fx biết rằng F1=8 và F0=1 là:

Nguyên hàm của ∫xx2+1dx là:

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của ∫sin3x+cos3xdx?

Với phương pháp đổi biến số x→t , nguyên hàm ∫ln2xxdx bằng:

Với phương pháp đổi biến số x→t, nguyên hàm ∫1x2+1dx bằng:

Với phương pháp đổi biến số x→t, nguyên hàm I=∫1−x2+2x+3dx bằng:

Theo phương pháp đổi biến số với t=cosx,u=sinx, nguyên hàm của I=∫tanx+cotxdx là:

Theo phương pháp đổi biến số x→t , nguyên hàm của I=∫2sinx+2cosx1−sin2x3dx là:

Nguyên hàm của I=∫xlnxdx bằng với:

Nguyên hàm của I=∫xsinxdx bằng với:

Nguyên hàm của I=∫xsin2xdx là:

Họ nguyên hàm của I=∫exdx là:

Họ nguyên hàm của ∫ex1+xdx là:

Nguyên hàm của I=∫xsinxcos2xdx là:

Họ nguyên hàm của I=∫lncosxsin2xdx là:

∫x2+2x3 dx có dạng a3x3+b4x4+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

∫13x3+1+35x5 dx có dạng a12x4+b6x6+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

∫x3+x+1+1x2+1+32 dx có dạng a4x4−1x+1+32x+b3x+13+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng:

∫x+1ex2−5x+4⋅e7x−3+cos2x dx có dạng a6ex+12+b2sin 2x+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng:

∫2a+1x3+bx2 dx, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng ∫2a+1x3+bx2 dx=34x4+x3+C. Giá trị a, b lần lượt bằng:

Tính ∫(2+e3x)2dx

Tính ∫dx1−xthu được kết quả là:

Họ nguyên hàm của hàm số fx=x31−x2 là:

Tính F(x)=∫dxx2lnx+1

Nguyên hàm của hàm số fx = x2– 3x + 1x là

Nguyên hàm của hàm số y=3x−1 trên 13;+∞ là:

Tính F(x)=∫x3x4−1dx

Một nguyên hàm của hàm số y=sin3x

Cho hàm số f(x)=5+2x4x2 . Khi đó:

Một nguyên hàm của hàm số: f(x)=x1+x2 là:

Họ các nguyên hàm của hàm số y=sin2x là:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + x$ là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]}$ ?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}})$ ?

Tìm $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ?

Tìm $I = \int \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x$ ?

Tìm $Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$ ?

Tìm $T = \int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}} d x$ ?

Tìm $H = \int \frac{x^{2} d x}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}}$ ?

Tìm $T = \int \frac{d x}{\sqrt[n]{{(x^{n} + 1)}^{n + 1}}}$ ?

Tìm $R = \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} d x$ ?

Tìm $F = \int x^{n} e^{x} d x$ ?

Tìm $G = \int \frac{2 x^{2} + (1 + 2 \ln x) . x + \ln^{2} x}{{(x^{2} + x \ln x)}^{2}} d x$ ?

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của $K = \int \frac{{(7 x - 1)}^{2017}}{{(2 x + 1)}^{2019}} d x$ ?

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $g (x) = \frac{\ln x}{{(x + 1)}^{2}}$ ?

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $h (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{1 - n} . \ln x . (x^{n} + \ln^{n} x)}$ ?

Nguyên hàm của $f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 \sqrt{x}$ là:

Nguyên hàm của $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3$ là:

Nguyên hàm $\int \frac{1}{x^{2} - 7 x + 6} d x$ là:

Nguyên hàm $\int \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$ là:

Nguyên hàm $\int \frac{3 x + 3}{- x^{2} - x + 2} d x$ là:

Nguyên hàm $\int \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}} d x$ là:

Nguyên hàm $\int (\sin 2 x + \cos x) d x$ là:

Nguyên hàm $\int \frac{e^{2 x + 1} - 2}{\sqrt[3]{e^{x}}} d x$ là:

Nguyên hàm $\int [\sin (2 x + 3) + \cos (3 - 2 x)] d x$ là:

Nguyên hàm $\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x$ là:

Gọi $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}$ . Nguyên hàm của $f (x)$ biết $F (3) = 6$ là:

Gọi $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 2 (m - 1) x + m + 5$ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của $f (x)$ biết rằng $F (1) = 8$ và $F (0) = 1$ là:

Nguyên hàm của $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ là:

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$ ?

Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $\int \frac{\ln 2 x}{x} d x$ bằng:

Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ bằng:

Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $I = \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}} d x$ bằng:

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x, u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int (\tan x + \cot x) d x$ là:

Theo phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm của $I = \int \frac{2 \sin x + 2 \cos x}{\sqrt[3]{1 - \sin 2 x}} d x$ là:

Nguyên hàm của $I = \int x \ln x d x$ bằng với:

Nguyên hàm của $I = \int x \sin x d x$ bằng với:

Nguyên hàm của $I = \int x \sin^{2} x d x$ là:

Họ nguyên hàm của $I = \int e^{x} d x$ là:

Họ nguyên hàm của $\int e^{x} (1 + x) d x$ là:

Nguyên hàm của $I = \int x \sin x \cos^{2} x d x$ là:

Họ nguyên hàm của $I = \int \frac{\ln (\cos x)}{\sin^{2} x} d x$ là:

$\int (x^{2} + 2 x^{3}) d x$ có dạng $\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

$\int (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 + \sqrt{3}}{5} x^{5}) d x$ có dạng $\frac{a}{12} x^{4} + \frac{b}{6} x^{6} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ có dạng $\frac{a}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{b}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng:

$\int ((x + 1) e^{x^{2} - 5 x + 4} \cdot e^{7 x - 3} + \cos 2 x) d x$ có dạng $\frac{a}{6} e^{{(x + 1)}^{2}} + \frac{b}{2} s i n 2 x + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị $a, b$ lần lượt bằng:

$\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Biết rằng $\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x = \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + C$ . Giá trị $a, b$ lần lượt bằng:

Tính $\int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Tính $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x}}$ thu được kết quả là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ là:

Tính $F (x) = \int \frac{d x}{x \sqrt{2 \ln x + 1}}$

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là

Nguyên hàm của hàm số $y = \sqrt{3 x - 1}$ trên $(\frac{1}{3}; + \infty)$ là:

Tính $F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

Cho hàm số $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ . Khi đó:

Một nguyên hàm của hàm số: $f (x) = x \sqrt{1 + x^{2}}$ là:

Họ các nguyên hàm của hàm số $y = \sin 2 x$ là:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x)$ thỏa mãn điều kiện: $f (x) = 2 x - 3 \cos x, F (\frac{π}{2}) = 3$

Một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ thỏa mãn $F (\frac{π}{4}) = - 1$ là:

Cho hàm số $f (x) = \cos 3 x . \cos x$ . Một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ bằng 0 khi $x = 0$ là:

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

Hàm số $F (x) = e^{x} + e^{- x} + x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

Tính $\int 2^{2 x} {.3}^{x} {.7}^{x} d x$

Tính $\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x$

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{1 - 2 x}, x < \frac{1}{2}$ là :

Tính $\int 2^{x + 1} d x$

Hàm số $F (x) = e^{x} + \tan x + C$ là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

Nếu $\int f (x) d x = e^{x} + \sin^{2} x + C$ thì $f (x)$ là hàm nào ?

Tìm một nguyên hàm F(x) của $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2}}$ biết F(1) = 0

Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x³ – 3x² + 2 và F(-1) = 3

Nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x) = e^{x} (1 - e^{- x})$ và $F (0) = 3$ thì $F (x)$ là ?

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt{x^{2} + 1}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt{1 - x^{2}}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt[3]{1 - 2 x}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt[3]{1 - 2 x}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3}$ là: