∫x3+x+1+1x2+1+32 dx có dạng a4x4−1x+1+32x+b3x+13+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng: A. 2;1 B. 1;1 C. a,b∈∅ D. 1;2

Phân tích: Theo đề, ta cần tìm ∫x3+x+1+1x2+1+32 dx. Sau đó, ta xác định giá trị của . Ta có: ∫x3+x+1+1x2+1+32 dx=∫x3+1x2+1+32 dx+∫x+1 dx. Để tìm ∫2xx2+1+xlnx dx ta đặt I1=∫x3+1x2+1+32 dx và I2=∫x+1 dx và tìm I1, I2. *Tìm I1=∫x3+1x2+1+32 dx. I1=∫x3+1x2+1+32 dx=14x4−1x+1+32x+C1, trong đó C1 là 1 hằng số. *Tìm I2=∫x+1 dx. Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t=x+1, t≥0 ta được t2=x+1, 2tdt=dx. Suy ra I2=∫x+1 dx=∫2t2dt=23t3+C2=23x+13+C2. ∫x3+x+1+1x2+1+32 dx=I1+I2=14x4−1x+1+32x+C1+23x+13+C2=14x4−1x+1+32x+23x+13+C. Suy ra để ∫x3+x+1+1x2+1+32 dx có dạng a4x4−1x+1+32x+b3x+13+C thì a=1∈ℚ, b=2∈ℚ. Vậy đáp án chính xác là đáp án D.

Câu hỏi:

16/12/2022 144

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ có dạng $\frac{a}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{b}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng:

A. 2;1

B. 1;1

C. $a, b \in \emptyset$

D. 1;2

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 102 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài tập nguyên hàm có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x + \int \sqrt{x + 1} d x$ .

Để tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ và $I_{2} = \int \sqrt{x + 1} d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

*Tìm $I_{1} = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ .

$I_{1} = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ là 1 hằng số.

*Tìm $I_{2} = \int \sqrt{x + 1} d x$ .

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt $t = \sqrt{x + 1}, t \geq 0$ ta được $t^{2} = x + 1, 2 t d t = d x$ .

Suy ra $I_{2} = \int \sqrt{x + 1} d x = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C_{2}$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + C_{1} + \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C_{2} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C .$

Suy ra để $\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ có dạng $\frac{a}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{b}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C$ thì $a = 1 \in ℚ, b = 2 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.

Bình luận

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ là:

A. $\ln^{2} x + C$

B. $\ln x + C$

C. $\frac{\ln^{2} x}{2} + C$

D. $\frac{\ln x}{2} + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 42,696

Câu 2:

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

A. $\cot x - x + C$

B. $- \cot x - x + C$

C. $\cot x + x + C$

D. $\tan x + x + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 37,526

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin x}$ là:

A. $\ln |\cot \frac{x}{2}| + C$

B. $\ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

C. $- \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

D. $\ln |\sin x| + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 36,809

Câu 4:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

A. $2 \ln (x + 2) + \frac{1}{x + 2} + C .$

B. $2 \ln (x + 2) - \frac{1}{x + 2} + C .$

C. $2 \ln (x + 2) - \frac{3}{x + 2} + C .$

D. $2 \ln (x + 2) + \frac{3}{x + 2} + C .$

Xem đáp án » 07/12/2022 24,204

Câu 5:

Cho $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Khi đó với a ¹ 0, ta có $\int f (a x + b) d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2 a} F (a x + b) + C$

B. $a . F (a x + b) + C$

C. $\frac{1}{a} F (a x + b) + C$

D. $F (a x + b) + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 16,961

Câu 6:

Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?

A. $J = \frac{e^{x}}{2} (\cos x - \sin x) + C$

B. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$

C. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C$

D. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x + 1) + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 16,482

Câu 7:

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

A. $- \frac{1}{3} c os 3 x$

B. $- 3 c os 3 x$

C. $3 c os 3 x$

D. $\frac{1}{3} c os 3 x$

Xem đáp án » 16/12/2022 11,775

Xem thêm các câu hỏi khác »

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ có dạng $\frac{a}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{b}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng: