$\int \left(x^3+\sqrt{x+1}+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx$ có dạng $\frac{a}{4}{x}^4-\frac{1}{x}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}x+\frac{b}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C$, trong đó $a,b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a  lần lượt bằng:

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int \left(x^3+\sqrt{x+1}+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx$. Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int \left(x^3+\sqrt{x+1}+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx=\int \left(x^3+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx+\int \sqrt{x+1}dx$.

Để tìm $\int \left(2x\sqrt{x^2+1}+x\ln x\right)dx$ ta đặt $I_1=\int \left(x^3+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx$ và $I_2=\int \sqrt{x+1}dx$ và tìm $I_1,I_2$.

*Tìm $I_1=\int \left(x^3+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx$.

$I_1=\int \left(x^3+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{x}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}x+C_1$, trong đó $C_1$ là 1 hằng số.

*Tìm $I_2=\int \sqrt{x+1}dx$.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt  $t=\sqrt{x+1},t\ge 0$  ta được  $t^2=x+1,2tdt=dx$.

Suy ra $I_2=\int \sqrt{x+1}dx=\int 2t^{2}dt=\frac{2}{3}{t}^3+C_2=\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C_2$.

$\int \left(x^3+\sqrt{x+1}+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx=I_1+I_2=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{x}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}x+C_1+\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C_2=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{x}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}x+\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C.$

Suy ra để  $\int \left(x^3+\sqrt{x+1}+\frac{1}{x^2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)dx$ có dạng $\frac{a}{4}{x}^4-\frac{1}{x}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}x+\frac{b}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C$ thì  $a=1\in \mathbb{Q},b=2\in \mathbb{Q}.$

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.