$\int \left(\left(x+1\right)e^{x^2-5x+4}\cdot e^{7x-3}+\cos 2x\right)dx$ có dạng $\frac{a}{6}{e}^{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{b}{2}sin2x+C$, trong đó $a,b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị $a,b$ lần lượt bằng:

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int \left(\left(x+1\right)e^{2\left(x+1\right)}+\cos 2x\right)dx$. Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int \left(\left(x+1\right)e^{x^2-5x+4}\cdot e^{7x-3}+\cos 2x\right)dx=\int \left(\left(x+1\right)e^{\left(x^2-5x+4\right)+\left(7x-3\right)}+\cos 2x\right)dx=\int \left(x+1\right)e^{{\left(x+1\right)}^2}dx+\int \cos 2xdx$.

Để tìm $\int \left(\left(x+1\right)e^{\left(x^2-5x+4\right)}\cdot e^{7x-3}+\cos 2x\right)dx$ ta đặt $I_1=\int \left(x+1\right)e^{{\left(x+1\right)}^2}dx$ và $I_2=\int \cos 2xdx$ và tìm $I_1,I_2$.

*Tìm $I_1=\int \left(x+1\right)e^{{\left(x+1\right)}^2}dx$.

Đặt $t={\left(x+1\right)}^2;dt=2\left(x+1\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}dx=2\left(x+1\right)dx$.

$I_1=\int \left(x+1\right)e^{{\left(x+1\right)}^2}dx=\int \frac{1}{2}{e}^{t}dt=\frac{1}{2}{e}^t+C_1=\frac{1}{2}{e}^{{\left(x+1\right)}^2}+C_1$, trong đó $C_1$à 1 hằng số.

*Tìm $I_2=\int \cos 2xdx$.

$I_2=\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C_2$.

$\int \left(\left(x+1\right)e^{x^2-5x+4}\cdot e^{7x-3}+\cos 2x\right)dx=I_1+I_2=\frac{1}{2}{e}^{{\left(x+1\right)}^2}+C_1+\frac{1}{2}\sin 2x+C_2=\frac{1}{2}{e}^{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{2}sin2x+C.$

Suy ra để $\int \left(\left(x+1\right)e^{x^2-5x+4}\cdot e^{7x-3}+\cos 2x\right)dx$  có dạng $\frac{a}{6}{e}^{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{b}{2}sin2x+C$ thì  $a=3\in \mathbb{Q},b=1\in \mathbb{Q}.$

Vậy đáp án chính xác là đáp án A.