∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 B. 2 C. 1 D. không tồn tại

Theo đề, ta cần tìm ∫2xx2+1+xlnx dx. Sau đó, ta xác định giá trị của . Ta có: ∫2xx2+1+xlnx dx=∫2xx2+1 dx+∫xlnx dx. Để tìm ∫2xx2+1+xlnx dx ta đặt I1=∫2xx2+1 dx và I2=∫xlnx dx và tìm I1, I2. *I1=∫2xx2+1 dx. Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t=x2+1, t≥1 ta được t2=x2+1, xdx=tdt. Suy ra: I1=∫2xx2+1 dx=∫2t2dt=23t3+C1=23x2+13+C1, trong đó C1 là 1 hằng số. *I2=∫xlnx dx. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. Đặt u=lnxdv=xdx⇒du=1xdxv=12x2, ta được: I2=∫xlnx dx=∫udv=uv−∫vdu=12x2lnx−∫12x2⋅1xdx=12x2lnx−12∫xdx=12x2lnx−14x2+C2. ∫2xx2+1+xlnx dx=I1+I2=23x2+13+C1+12x2lnx−14x2+C2=23x2+13+12x2lnx−14x2+C. Suy ra để ∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C thì a=2∈ℚ, b=3∈ℚ. Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Câu hỏi:

16/12/2022 1,439

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. không tồn tại

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 102 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài tập nguyên hàm có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề, ta cần tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x + \int x \ln x d x$ .

Để tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ và $I_{2} = \int x \ln x d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

* $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ .

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}, t \geq 1$ ta được $t^{2} = x^{2} + 1, x d x = t d t$ .

Suy ra:

$I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ là 1 hằng số.

* $I_{2} = \int x \ln x d x$ .

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{1}{2} x^{2} \end{cases}$ , ta được:

$I_{2} = \int x \ln x d x = \int u d v = u v - \int v d u = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$ .

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ .

Suy ra để $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ thì $a = 2 \in ℚ, b = 3 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

A. $\cot x - x + C$

B. $- \cot x - x + C$

C. $\cot x + x + C$

D. $\tan x + x + C$

Lời giải

Ta có: $\int \cot^{2} x d x = \int (\cot^{2} x + 1 - 1) d x = - \cot x - x + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 2

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin x}$ là:

A. $\ln |\cot \frac{x}{2}| + C$

B. $\ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

C. $- \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

D. $\ln |\sin x| + C$

Lời giải

Ta có: $\int \frac{d x}{\sin x} = \int \frac{\sin x . d x}{1 - \cos^{2} x} = \int \frac{- \sin x . d x}{\cos^{2} x - 1} = \int \frac{d (\cos x)}{\cos^{2} x - 1} = \frac{1}{2} \ln |\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}| + C$

$= \frac{1}{2} \ln |\frac{2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 2}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}}| + C = \frac{1}{2} \ln |\frac{- \sin^{2} \frac{x}{2}}{\cos^{2} \frac{x}{2}}| + C = \frac{1}{2} \ln |\tan^{2} \frac{x}{2}| + C$

$= \ln {|\tan^{2} \frac{x}{2}|}^{\frac{1}{2}} + C = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 3

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ là:

A. $\ln^{2} x + C$

B. $\ln x + C$

C. $\frac{\ln^{2} x}{2} + C$

D. $\frac{\ln x}{2} + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

A. $2 \ln (x + 2) + \frac{1}{x + 2} + C .$

B. $2 \ln (x + 2) - \frac{1}{x + 2} + C .$

C. $2 \ln (x + 2) - \frac{3}{x + 2} + C .$

D. $2 \ln (x + 2) + \frac{3}{x + 2} + C .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

A. $- \frac{1}{3} c os 3 x$

B. $- 3 c os 3 x$

C. $3 c os 3 x$

D. $\frac{1}{3} c os 3 x$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Khi đó với a ¹ 0, ta có $\int f (a x + b) d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2 a} F (a x + b) + C$

B. $a . F (a x + b) + C$

C. $\frac{1}{a} F (a x + b) + C$

D. $F (a x + b) + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?

A. $J = \frac{e^{x}}{2} (\cos x - \sin x) + C$

B. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$

C. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C$

D. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x + 1) + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin x}$ là:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

Cho $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Khi đó với a ¹ 0, ta có $\int f (a x + b) d x$ bằng:

Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?