∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 B. 2 C. 1 D. không tồn tại

Theo đề, ta cần tìm ∫2xx2+1+xlnx dx. Sau đó, ta xác định giá trị của . Ta có: ∫2xx2+1+xlnx dx=∫2xx2+1 dx+∫xlnx dx. Để tìm ∫2xx2+1+xlnx dx ta đặt I1=∫2xx2+1 dx và I2=∫xlnx dx và tìm I1, I2. *I1=∫2xx2+1 dx. Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t=x2+1, t≥1 ta được t2=x2+1, xdx=tdt. Suy ra: I1=∫2xx2+1 dx=∫2t2dt=23t3+C1=23x2+13+C1, trong đó C1 là 1 hằng số. *I2=∫xlnx dx. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. Đặt u=lnxdv=xdx⇒du=1xdxv=12x2, ta được: I2=∫xlnx dx=∫udv=uv−∫vdu=12x2lnx−∫12x2⋅1xdx=12x2lnx−12∫xdx=12x2lnx−14x2+C2. ∫2xx2+1+xlnx dx=I1+I2=23x2+13+C1+12x2lnx−14x2+C2=23x2+13+12x2lnx−14x2+C. Suy ra để ∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C thì a=2∈ℚ, b=3∈ℚ. Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Câu hỏi:

16/12/2022 1,108

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3

B. 2

Đáp án chính xác

C. 1

D. không tồn tại

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 102 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài tập nguyên hàm có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề, ta cần tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x + \int x \ln x d x$ .

Để tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ và $I_{2} = \int x \ln x d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

* $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ .

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}, t \geq 1$ ta được $t^{2} = x^{2} + 1, x d x = t d t$ .

Suy ra:

$I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ là 1 hằng số.

* $I_{2} = \int x \ln x d x$ .

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{1}{2} x^{2} \end{cases}$ , ta được:

$I_{2} = \int x \ln x d x = \int u d v = u v - \int v d u = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$ .

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ .

Suy ra để $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ thì $a = 2 \in ℚ, b = 3 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Bình luận

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ là:

A. $\ln^{2} x + C$

B. $\ln x + C$

C. $\frac{\ln^{2} x}{2} + C$

D. $\frac{\ln x}{2} + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 43,049

Câu 2:

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

A. $\cot x - x + C$

B. $- \cot x - x + C$

C. $\cot x + x + C$

D. $\tan x + x + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 38,166

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin x}$ là:

A. $\ln |\cot \frac{x}{2}| + C$

B. $\ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

C. $- \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

D. $\ln |\sin x| + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 37,313

Câu 4:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

A. $2 \ln (x + 2) + \frac{1}{x + 2} + C .$

B. $2 \ln (x + 2) - \frac{1}{x + 2} + C .$

C. $2 \ln (x + 2) - \frac{3}{x + 2} + C .$

D. $2 \ln (x + 2) + \frac{3}{x + 2} + C .$

Xem đáp án » 07/12/2022 24,313

Câu 5:

Cho $\int f (x) d x = F (x) + C .$ Khi đó với a ¹ 0, ta có $\int f (a x + b) d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2 a} F (a x + b) + C$

B. $a . F (a x + b) + C$

C. $\frac{1}{a} F (a x + b) + C$

D. $F (a x + b) + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 17,117

Câu 6:

Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?

A. $J = \frac{e^{x}}{2} (\cos x - \sin x) + C$

B. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$

C. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C$

D. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x + 1) + C$

Xem đáp án » 16/12/2022 16,558

Câu 7:

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

A. $- \frac{1}{3} c os 3 x$

B. $- 3 c os 3 x$

C. $3 c os 3 x$

D. $\frac{1}{3} c os 3 x$

Xem đáp án » 16/12/2022 12,002

Xem thêm các câu hỏi khác »

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: