5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 17)

Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - 2x + 1}}:\left( {\frac{{x + 1}}{x} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{{x^2} - x}}} \right)\).

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P < 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 2.

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\).

Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên nhỏ nhất.

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} \right)\).

a) Rút gọn A.

b) Cho \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của A.

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh .

b) EF cắt CB tại M. Chứng minh MB.MC = ME.MF.

c) Biết S_ABC = 24, BD = 3 và CD = 5. Tính S_BHC.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh và S_AEF = cos²A.S_ABC.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH.

c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.

a) Chứng minh \[\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \].

b) Tìm các điểm D, C sao cho \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {ND} ;\,\,\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).

Rút gọn các phân thức sau:

a) \(\frac{{9 - 12x + 4{x^2}}}{{2x - 3}}\);

b) \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2} + 2\left( {4{x^2} - 9} \right) + {{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2} - 2\left( {4{x^2} - 9} \right) + {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\);

c) \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3} - {{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}{{{{\left( {3x + 4} \right)}^2} + 3{x^2} - 24x - 7}}\);

d) \(\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 5}}\);

e) \(\frac{{{x^4} + 4}}{{x\left( {{x^2} + 2} \right) - 2{x^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}\).

Cho \(M = 2x - 3 - \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} \).

a) Rút gọn M.

b) Tính M khi \(x = \frac{5}{2};\,x = \frac{{ - 1}}{5}\).

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

1) Xác định hình tính của tứ giác AMON.

2) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O)?

3) Tính diện tích tứ giác AMON.

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của SB và (MCD).

b) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (MCD).

Tìm tập xác định của hàm số:

a) y = cot(1 – x);

b) \(y = x + \frac{1}{{\left( {\sin x + 1} \right)\cot x}}\).

a) Vẽ đồ thị hàm số y = –x² (P) và hàm số y = –2x – 3 (D) trên cùng hệ tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D).

c) Gọi giao điểm (P) và (D) là A. Tính độ dài từ A đến B(5; –7).

Chứng minh:

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Chứng minh:

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

b) (A \ B) \ C ⊂ A \ C.

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

c) Diện tích của tam giác ABC;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \), với M là trung điểm của BC.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Chứng minh \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).

b) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).

Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {QE} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {ME} \);

b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {PQ} \);

c) \(\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {FP} - \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {QK} = 2\overrightarrow {PK} \);

d) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {EK} - \overrightarrow {EP} - \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {AK} \).

Cho bốn điểm M, N, P, Q. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} \);

b) \(\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} \);

c) \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} \).

Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 5m – 1 (m là tham số, \[m \ne \frac{3}{2}\]).

a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên ℝ.

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –6.

c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là –6.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m – 1)x⁴ – 2(m – 3)x² + 1 không có cực đại?

Cho tam giác cân ABC có CA = CB và góc ABC nhọn. Các đường cao CD, BE, AF cắt nhau ở H.

a) Chứng minh 4 điểm C, F, H, E nằm trên đường tròn (O). Xác định tâm O của đường tròn.

b) Chứng minh (O) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Chứng minh FB là phân giác của góc DFE.

a) Tìm x, biết: x(x + 3) – x² + 9 = 0.

b) Thực hiện phép chia: A = 2x² + 3x – 2 cho B = 2x – 1.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d (B, C nằm cùng phía đối với d). Kẻ BM và CN vuông góc với d. Chứng minh rằng:

a) ∆BAM = ∆ACN;

b) MN = BM + CN.

Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} \);

b) \(\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \);

c) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \);

d) \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} \).

Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Tính

a) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} } \right|\);

b) \(\left| {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right|\);

c) \(\left| {\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} } \right|\);

d) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right|\).

Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B.

a) Chứng minh OA = OP.

b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh AM.BN = R².

d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.

Cho đường tròn (O; R) và dây MN. Các tiếp tuyến của (O) tại M, N cắt nhau ở A. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AN, cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Q là giao điểm của AP và (O), K là giao điểm của MQ và AN. Chứng minh

a) AK² = KQ.KM.

b) K là trung điểm của AN.

Tam giác ABC có AB = AC, tia phân giác của \(\widehat A\) cắt BC tại D.

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

b) Lấy điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).

Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác \(\widehat A\) cắt BC tại D.

a) Chứng minh DB = DC.

b) Chứng minh AD vuông góc BC.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.

a) Chứng minh AH = DE.

b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.

c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.

d) Chứng minh S_ABC = 2S_DEQP.