\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\left[ {\frac{{x + 1}}{x} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + x + 2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\frac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\).

b) Ta có \(P < 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} < 1\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0\] (vì \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]).

⇔ x < 1.

Vậy x < 1 thì P < 1.

c) Vì x > 2 nên x – 2 > 0.

Do đó x – 1 > x – 2 > 0.

Ta có \(P = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x - 1}}} = 2\sqrt 1 = 2,\,\forall x > 2\).

\( \Leftrightarrow x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2 \ge 2 + 2 = 4\).

⇔ P ≥ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x – 1 = 1 hoặc x – 1 = –1.

⇔ x = 2 (loại vì x > 2) hoặc x = 0 (loại vì x > 2).

Vậy P không có giá trị nhỏ nhất khi x > 2.

Câu 2

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\).

Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\).

Để P có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\).

\( \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \) Ư(5).

Ta có bảng sau:

\(\sqrt x + 1\)	–5	–1	1	5
x	Vô nghiệm	Vô nghiệm	0	16

Với x = 0, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt 0 + 1}} = 6\).

Với x = 16, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt {16} + 1}} = 2\).

Vậy P có giá trị nguyên nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 16.

Câu 3

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và lớn hơn 65000?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(\overline {abcde} \) là số tự nhiên cần tìm (0 ≤ a, b, c, d, e ≤ 9; a ≠ 0; a, b, c, d, e ∈ ℕ \ {7}).

Trường hợp 1: a = 6, b = 5.

Chọn tùy ý các chữ số c, d, e từ 9 chữ số đã cho, ta luôn được số thỏa mãn trừ trường hợp c = d = e = 0.

Số các số lập được là: 1.1.9³ – 1 = 728 (số).

Trường hợp 2: a = 6, b ∈ {6; 8; 9}.

Chọn tùy ý các chữ số c, d, e trong 9 chữ số đã cho, ta luôn được số thỏa mãn.

Số các số lập được là: 1.3.9³ = 2187 (số).

Trường hợp 3: a ∈ {8; 9}.

Chọn tùy ý các chữ số b, c, d, e trong 9 chữ số đã cho, ta luôn được số thỏa mãn.

Số các số lập được là: 2.9⁴ = 13122 (số).

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 728 + 2187 + 13122 = 16037 số.

Câu 4

Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}}\).

Do n ∈ ℕ^* nên \(\frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{2}\).

Suy ra \(2 - \frac{1}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

Vậy dãy (u_n) đã cho bị chặn dưới bởi \(\frac{3}{2}\).

Câu 5

Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 3}},\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

A. Dãy số giảm, bị chặn trên;

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới;

C. Dãy số tăng, bị chặn;

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1 + 3}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 4}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{7}{{{n^2} + 7n + 12}}\)

\( = \frac{7}{{{{\left( {n + \frac{7}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}}} > 0,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy (u_n) là dãy số tăng.

⦁ Ta có \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \frac{{2\left( {n + 3} \right) - 7}}{{n + 3}} = 2 - \frac{7}{{n + 3}}\).

Do n ∈ ℕ^* nên \(\frac{1}{{n + 3}} \le \frac{1}{4}\).

Suy ra \(2 - \frac{7}{{n + 3}} \ge 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\).

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi \(\frac{7}{4}\).

Lại có u_n bị chặn trên (do u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*).

Vậy (u_n) bị chặn.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 6

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} \right)\).

a) Rút gọn A.

b) Cho \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của A.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 17)

🔥 Đề thi HOT: