5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 17)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\left[ {\frac{{x + 1}}{x} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + x + 2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\frac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\).

b) Ta có \(P < 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} < 1\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0\] (vì \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]).

⇔ x < 1.

Vậy x < 1 thì P < 1.

c) Vì x > 2 nên x – 2 > 0.

Do đó x – 1 > x – 2 > 0.

Ta có \(P = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x - 1}}} = 2\sqrt 1 = 2,\,\forall x > 2\).

\( \Leftrightarrow x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2 \ge 2 + 2 = 4\).

⇔ P ≥ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x – 1 = 1 hoặc x – 1 = –1.

⇔ x = 2 (loại vì x > 2) hoặc x = 0 (loại vì x > 2).

Vậy P không có giá trị nhỏ nhất khi x > 2.

Câu 2

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\).

Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\).

Để P có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\).

\( \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \) Ư(5).

Ta có bảng sau:

\(\sqrt x + 1\)	–5	–1	1	5
x	Vô nghiệm	Vô nghiệm	0	16

Với x = 0, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt 0 + 1}} = 6\).

Với x = 16, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt {16} + 1}} = 2\).

Vậy P có giá trị nguyên nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 16.

Câu 3

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và lớn hơn 65000?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(\overline {abcde} \) là số tự nhiên cần tìm (0 ≤ a, b, c, d, e ≤ 9; a ≠ 0; a, b, c, d, e ∈ ℕ \ {7}).

Trường hợp 1: a = 6, b = 5.

Chọn tùy ý các chữ số c, d, e từ 9 chữ số đã cho, ta luôn được số thỏa mãn trừ trường hợp c = d = e = 0.

Số các số lập được là: 1.1.9³ – 1 = 728 (số).

Trường hợp 2: a = 6, b ∈ {6; 8; 9}.

Chọn tùy ý các chữ số c, d, e trong 9 chữ số đã cho, ta luôn được số thỏa mãn.

Số các số lập được là: 1.3.9³ = 2187 (số).

Trường hợp 3: a ∈ {8; 9}.

Chọn tùy ý các chữ số b, c, d, e trong 9 chữ số đã cho, ta luôn được số thỏa mãn.

Số các số lập được là: 2.9⁴ = 13122 (số).

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 728 + 2187 + 13122 = 16037 số.

Câu 4

Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}}\).

Do n ∈ ℕ^* nên \(\frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{2}\).

Suy ra \(2 - \frac{1}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

Vậy dãy (u_n) đã cho bị chặn dưới bởi \(\frac{3}{2}\).

Câu 5

Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 3}},\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

A. Dãy số giảm, bị chặn trên;

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới;

C. Dãy số tăng, bị chặn;

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1 + 3}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 4}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{7}{{{n^2} + 7n + 12}}\)

\( = \frac{7}{{{{\left( {n + \frac{7}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}}} > 0,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy (u_n) là dãy số tăng.

⦁ Ta có \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \frac{{2\left( {n + 3} \right) - 7}}{{n + 3}} = 2 - \frac{7}{{n + 3}}\).

Do n ∈ ℕ^* nên \(\frac{1}{{n + 3}} \le \frac{1}{4}\).

Suy ra \(2 - \frac{7}{{n + 3}} \ge 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\).

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi \(\frac{7}{4}\).

Lại có u_n bị chặn trên (do u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*).

Vậy (u_n) bị chặn.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 6

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} \right)\).

a) Rút gọn A.

b) Cho \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của A.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử