Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Tính

a) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} } \right|\);

b) \(\left| {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right|\);

c) \(\left| {\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} } \right|\);

d) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right|\).

Lời giải

a) Ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CA} \) (do M là trung điểm BC).

Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\).

b) Ta có \(\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BI} \), với I là trung điểm AM.

Tam giác ABC đều cạnh a có M là trung điểm BC.

Suy ra \(CM = BM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).

Tam giác ABC đều có AM là đường trung tuyến.

Suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ACM vuông tại M: \(AM = \sqrt {A{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(IM = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Tam giác BMI vuông tại M: \(BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {BI} } \right| = 2BI = 2.\frac{{a\sqrt 7 }}{4} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

c) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM thỏa mãn \(MK = \frac{3}{4}MA\)và H là điểm thuộc tia MB sao cho \(MH = \frac{5}{2}MB\).

Khi đó \(\overrightarrow {MK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {MA} ;\,\,\overrightarrow {MH} = \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} \).

Ta có \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MK} - \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {HK} \).

Ta có \(MK = \frac{3}{4}MA = \frac{3}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\) và \(MH = \frac{5}{2}MB = \frac{5}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{5a}}{4}\).

Tam giác KMH vuông tại M: \(HK = \sqrt {M{K^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 3 }}{8}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {127} }}{8}\).

Vậy \(\left| {\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HK} } \right| = HK = \frac{{a\sqrt {127} }}{8}\).

d) Ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}.2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AM} \).

Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).