Câu hỏi:
27/03/2023 349Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
1) Xác định hình tính của tứ giác AMON.
2) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O)?
3) Tính diện tích tứ giác AMON.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
1) Tứ giác AMON có: AM // ON (cùng vuông góc với OB) và AC // OM (cùng vuông góc với OC).
Suy ra tứ giác AMON là hình bình hành (1)
Xét ∆OBM và ∆OCN, có:
\[\widehat {MBO} = \widehat {NCO} = 90^\circ \];
OB = OC (= R);
\(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (cùng phụ với \(\widehat {MON}\)).
Do đó ∆OBM = ∆OCN (g.c.g).
Suy ra OM = ON (cặp cạnh tương ứng) (2)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác AMON là hình thoi.
2) Gọi I là giao điểm của AO và MN.
Suy ra AO ⊥ MN tại I và I là trung điểm AO và MN (do tứ giác AMON là hình thoi).
MN tiếp xúc với (O; R) khi và chỉ khi d(O, MN) = R.
⇔ OI = R.
⇔ OA = 2R (do I là trung điểm AO).
Vậy OA = 2R thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3) Tam giác ABO vuông tại B: \(\sin \widehat {OAB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \).
Ta có \(\widehat {AON} = \widehat {OAB} = 30^\circ \) (AM // ON và cặp góc này là cặp góc so le trong).
Tam giác OIN vuông tại I: \(\tan \widehat {AON} = \frac{{IN}}{{OI}}\).
Suy ra \(IN = R.\tan 30^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(MN = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy diện tích hình thoi AMON là: \({S_{AMON}} = \frac{1}{2}OA.MN = \frac{1}{2}.2R.\frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
a) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} \);
b) \(\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \);
c) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \);
d) \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} \).
Câu 2:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m – 1)x4 – 2(m – 3)x2 + 1 không có cực đại?
Câu 7:
về câu hỏi!