Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh và S_AEF = cos²A.S_ABC.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH.

c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).

Lời giải

a) Xét ∆BAE và ∆CAF, có:

\(\widehat A\) chung;

\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = 90^\circ \).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\).

Xét ∆AEF và ∆ABC, có:

\(\widehat A\) chung;

\(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\left( {do\,\,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}} \right)\).

Do đó (c.g.c).

Ta có \(\frac{{{S_{AEB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BE}}{{\frac{1}{2}AC.BE}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

Tương tự, ta có \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABE}}}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABE}}}}.\frac{{{S_{AEB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AF}}{{AB}}.\frac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AF}}{{AC}} = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\).

Vậy S_AEF = cos²A.S_ABC.

b) Gọi I là điểm đối xứng của C qua H. Suy ra HC = HI.

Ta có M là trung điểm BC và H và trung điểm CI.

Suy ra HM là đường trung bình của tam giác BCI.

Do đó HM // BI.

Mà HM ⊥ PH (giả thiết).

Suy ra BI ⊥ PH.

Tam giác BHI có hai đường cao HP, BF cắt nhau tại P.

Suy ra P là trực tâm của tam giác BHI.

Do đó PI ⊥ BH.

Mà BH ⊥ AC (giả thiết).

Vì vậy PI // AC.

Xét ∆HPI và ∆HQC, có:

\(\widehat {PHI} = \widehat {QHC}\) (cặp góc đối đỉnh);

HI = HC (giả thiết);

\(\widehat {HIP} = \widehat {HCQ}\) (do PI // AC, cặp góc so le trong).

Do đó ∆HPI = ∆HQC (g.c.g).

Suy ra HP = HQ.

c) Ta cần chứng minh: cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Thật vậy: cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\tan A.\tan B}} + \frac{1}{{\tan B.\tan C}} + \frac{1}{{\tan A.\tan C}} = 1\)

⇔ tanC + tanA + tanB = tanA.tanB.tanC.

Ta có \[\tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}}\].

⇒ tanA + tanB = (1 – tanA.tanB).tan(A + B)

⇒ tanA + tanB + tanC = (1 – tanA.tanB).tan(π – C) + tanC

⇒ tanA.tanB.tanC = –tanC.(1 – tanA.tanB) + tanC

⇒ tanA.tanB.tanC = –tanC + tanA.tanB.tanC + tanC

⇒ tanA.tanB.tanC = tanA.tanB.tanC (luôn đúng).

Vì vậy ta có cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Ta có (cotA + cotB + cotC)²

= cot²A + cot²B + cot²C + 2cotA.cotB + 2cotB.cotC + 2cotC.cotA

\( = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cot A - \cot B} \right)}^2} + {{\left( {\cot B - \cot C} \right)}^2} + {{\left( {\cot C - \cot A} \right)}^2}} \right]\)

\( + 3\left( {\cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A} \right) \ge 3\left( {\cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A} \right)\)

= 3.1 = 3.

Vậy \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).