5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 70)

Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\].

Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\). Tính số đo các góc của tam giác.

Cho \(\left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2005 + {y^2}} } \right) = 2005\). Tính x²⁰⁰⁵ + y²⁰⁰⁵.

Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x } \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 4}}{{1 - x}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right)\).

Cho (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O’) sao cho AM vuông góc với AN.

a) Chứng minh OM // O’N.

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.

Tìm số nguyên dương n,biết: 16 ≤ 8ⁿ ≤ 64.

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}}\).

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\).

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.

a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD.

b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.

i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.

ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.

Cho hàm số \[\frac{1}{4}{x^2}\] có đồ thị (P) và I(0; 3).

a) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và đường thẳng y = 2x – 3.

b) Tính độ dài AB.

c) Tính diện tích tam giác OAB.

d) Tìm tọa độ điểm M trên (P) sao cho độ dài MI nhỏ nhất.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Tam giác SOA cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Cho tam giác (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng:

a) AD = AI.

b) BE = 2CI.

c) ∆ABD = ∆ACI.

d) BE = 2BD.

Xác định hình dạng của tam giác ABC, biết: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{b^3} + {c^3} - {a^3}}}{{b + c - a}} = {a^2}\\a = 2b\cos C\end{array} \right.\).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là các điểm đối xứng với H qua AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

b) Tứ giác BDEC là hình thang vuông.

c) BC = BD + CE.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:

a) ∆BAE = ∆CAD;

b) ∆MDC cân;

c) HK = HC.

Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và phải có mặt các chữ số 1, 2, 3 sao cho chúng không đứng cạnh nhau?

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?

c) Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ.

Cho tứ giác ABCD, kẻ tia phân giác Bx, Dy, \(\widehat A = \widehat C\). Chứng minh Bx // Dy.

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α:

A = (tanα + cotα)² – (tanα – cotα)².

B = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α.

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α:

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \).

b) 2(sin⁶α + cos⁶α) – 3(cos⁴α + sin⁴α).

c) \(\frac{2}{{\tan \alpha - 1}} + \frac{{\cot \alpha + 1}}{{\cot \alpha - 1}}\,\,\,\left( {\tan \alpha \ne 1} \right)\).

Cho một cái cân có 2 đĩa và một quả cân 1 kg. Làm thế nào để tách 3 kg gạo ra khỏi 5 kg gạo với 1 lần cân duy nhất.

Hình thang ABCD (AB // CD) có các tia phân giác của các góc \(\widehat A\) và \(\widehat D\) gặp nhau tại điểm E thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {AED} = 90^\circ \).

b) AD = AB + CD.

Lớp 10A có 35 học sinh thích môn bóng đá, 20 học sinh thích môn bóng chuyền và 15 học sinh thích cả hai môn bóng. Biết học sinh nào cũng thích ít nhất một trong hai môn bóng. Tính số học sinh lớp 10A.

Có tất cả 40 con vừa gà vừa chó. Số chân chó nhiều hơn số chân gà là 16 chân. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì n^p – n chia hết cho p với mọi số nguyên dương n.

Phân tích đa thức thành nhân tử: (x² – x)² + 5(x² – x) – 14.

Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn biết rằng ba bạn có 44 viên bi.

Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng 3 lần số bi của bạn Hùng nhiều hơn 2 lần số bi của bạn Minh là 40 viên.

Cho tam giác ABC (\(\widehat B = 90^\circ \)) có đường cao BD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, DC và H là giao điểm của AE, BF. Tính \(\widehat {AHB}\)?

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x⁴ – x³ + 1 = y².

Cho đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0. Ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\vec v = \left( {1;2} \right)\) là đường thẳng:

Cho đường thẳng (d): x – 2y + 1 = 0. Ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\vec v = \left( {2;1} \right)\) là

Tìm tập xác định của hàm số \[y = \sin \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \].

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}}\).

Biết rằng \(\frac{{x + y}}{{t + z}} = \frac{4}{7}\) và 7y = 4z. Tìm tỉ số \(\frac{x}{t}\).

Trên bản đồ tỉ lệ 1 : 100 000, khoảng cách giữa hai xã trên bản đồ là 12 cm. Trên thực tế hai xã cách nhau bao nhiêu km?

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt nhau ở I, cắt cạnh AC, AB ở D và E. Tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt BC ở F.

a) Tính \(\widehat {BIC}\).

b) Chứng minh ID = IE = IF.

c) Chứng minh tam giác DEF đều.

d) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.

Tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \), các cạnh b = 20 c = 35.

a) Tính chiều cao h_a.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để bất phương trình x² – 2mx + 5m – 8 ≤ 0 có tập nghiệm là [a; b] sao cho b – a = 4. Tổng tất cả các phần tử của S là

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình mx² – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

Cho phương trình (1 + m)x² – 2mx + 2m = 0. Tìm m để phương trình:

a) Có nghiệm.

b) Vô nghiệm.

c) Có 2 nghiệm.

d) Có 2 nghiệm phân biệt.