Câu hỏi:

19/08/2025 1,148

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.

a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD.

b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.

i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.

ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’ (ảnh 1)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AD.

Suy ra OE ⊥ AC và AE = CE; O’F ⊥ AD và AF = DF.

Mà MA ⊥ CD (giả thiết).

Do đó OE // MA // O’F.

Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang.

Hình thang OO’FE có MA // OE // O’F và M là trung điểm của OO’.

Suy ra MA là đường trung bình của hình thang OO’FE.

Do đó AE = AF.

Vì vậy 2AE = 2AF.

Vậy AC = AD (điều phải chứng minh).

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’ (ảnh 2)

i) Gọi I là giao điểm của EG và FH.

Đường tròn (O) có AE là đường kính.

Suy ra AG ⊥ GE và AB ⊥ BE.

Đường tròn (O’) có AF là đường kính.

Suy ra AH ⊥ FH và AB ⊥ BF.

Ta có AB ⊥ BE (chứng minh trên) và AB ⊥ BF (chứng minh trên).

Suy ra ba điểm E, B, F thẳng hàng.

Do đó AB ⊥ EF.

Tam giác IEF có hai đường cao EH và FG cắt nhau tại A.

Suy ra A là trực tâm của tam giác IEF.

Mà AB ⊥ EF (chứng minh trên).

Do đó ba điểm I, A, B thẳng hàng.

Vậy AB, EG, FH đồng quy tại I.

ii) Kẻ OP ⊥ CD và O’Q ⊥ CD.

Suy ra P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD và OP // O’Q.

Khi đó AC = 2AP và AD = 2AQ.

Suy ra AC + AD = 2AP + 2AQ.

Vì vậy CD = 2PQ.

Do đó CD lớn nhất khi và chỉ khi PQ lớn nhất.

Ta có tứ giác OO’QP là hình thang vuông tại P, Q (vì OP // O’Q và OP ⊥ PQ).

Suy ra PQ ≤ OO’.

Dấu “=” xảy ra ⇔ OO’QP là hình chữ nhật.

⇔ PQ // OO’.

⇔ CD // OO’.

Vậy CD // OO’ thì CD có độ dài lớn nhất.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông (ảnh 1)

a) Ta có tam giác ADB vuông cân tại D.

Suy ra \(\widehat {DAB} = 45^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {CAE} = 45^\circ \).

Ta có \(\widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ \).

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (1)

Chứng minh tương tự, ta được D nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2)

Từ (1), (2), suy ra DM là đường trung trực của đoạn AB.

Mà DM cắt AB tại I.

Do đó DM ⊥ AB tại I.

Chứng minh tương tự, ta được ME ⊥ AC tại K.

Tứ giác IAKM, có: \(\widehat {MIA} = \widehat {IAK} = \widehat {AKM} = 90^\circ \).

Vậy tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác ADB vuông cân tại D có DI là đường cao.

Suy ra DI cũng là đường phân giác của tam giác ADB.

Do đó \[\widehat {ADI} = 90^\circ :2 = 45^\circ \].

Mà \(\widehat {DME} = 90^\circ \) (do tứ giác IAKM là hình chữ nhật).

Vậy tam giác DME là tam giác vuông cân tại M.

Câu 2

Số tập con của tập hợp A = {x ∈ ℝ | 3(x² + x)² – 2x² – 2x = 0} là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 3(x² + x)² – 2x² – 2x = 0.

⇔ 3(x² + x)² – 2(x² + x) = 0.

⇔ (x² + x)[3(x² + x) – 2] = 0.

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + x = 0\\3{x^2} + 3x - 2 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{6}\end{array} \right.\]

Vì vậy \(A = \left\{ {0; - 1;\frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{6}} \right\}\).

Vậy số tập con của tập A là 2³ = 8 tập con.

Câu 3