5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 81)

a) Do MN // BC ⇒ \[\widehat {ABC} = \widehat {AMN}\] và \[\widehat {ACB} = \widehat {ANM}\] (2 góc so le trong).

Mà ∆ABC cân tại A \[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\]

\[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM}\]

⇒ ∆AMN cân tại A.

b) Do ME // AC ⇒ ME // NC

MN // BC ⇒ MN // EC

⇒ Tứ giác MNCE là hình bình hành.

⇒ \[\widehat {EMN} = \widehat {NCE}\]

Mà \[\widehat {EMN} = \widehat {MEB}\] (2 góc so le trong do MN // BC)

\[\widehat {MBC} = \widehat {NCE}\](do ∆ABC cân tại A)

⇒ \[\widehat {MBE} = \widehat {MEB}\]

⇒ ∆MBE cân tại M.

Theo bài ra, ta có: (x⁴ + 6x² + 25) ⋮ P(x) ⇔ 3(x⁴ + 6x² + 25) ⋮ P(x)

Lại có: (3x⁴ + 4x² + 28x + 5) ⋮ P(x)

Suy ra: [3(x⁴ + 6x² + 25) − (3x⁴ + 4x² + 28x + 5)] ⋮ P(x)

⇔ (3x⁴ + 18x² + 75 − 3x⁴ − 4x² − 28x – 5) ⋮ P(x)

⇔ (14x² − 28x + 70) ⋮ P(x)

⇔ 14(x² − 2x + 5) ⋮ P(x)

⇔ (x² − 2x + 5) ⋮ P(x)

Hay (x⁴ − 2x + 5) ⋮ (x² + bx + c)

Mà b, c là các số nguyên nên để (x⁴ − 2x + 5) ⋮ (x² + bx + c) thì: b = ‒2, c = 5.

Khi đó, P(1) = 12 − 2.1 + 5 = 1 − 2 + 5 = 4.

Vậy P(1) = 4.

Ta có:

4³⁰ = 2³⁰.2³⁰ = 2³⁰.(2²)¹⁵ = 2³⁰.4¹⁵ = 2³⁰.4¹¹.4⁴

3.24¹⁰ = 3.(3.2³)¹⁰ = 3.3¹⁰.2³⁰ = 3¹¹.2³⁰

Mà 4¹¹.4⁴ > 3¹¹ ⇒ 4³⁰ > 3.24¹⁰

Ta có:

y = sinx ‒ cosx

\[ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x} \right)\]

\[ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin \frac{\pi }{4}.\cos x} \right)\]

\[ = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\]

\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\] \[ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \[ - \sqrt 2 \]; giá trị lớn nhất là \[\sqrt 2 \].

sinx = −1 \[ \Rightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \]

\[ \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 4\pi \]

\[ \Rightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}\]

⇒ k ∈ {1; 2}.

\[ \Rightarrow x = \left\{ {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{2}} \right\}\].

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là \[\frac{{3\pi }}{2} + \frac{{7\pi }}{2} = 5\pi \].

Ta có:

n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1

= n²⁰²¹ ‒ n² + n²⁰²⁰ ‒ n + n² + n +1

= n²(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + n(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + (n² + n +1)

= (n² + n)(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + (n² + n +1)

= n(n + 1)(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + (n² + n +1)                                 (1)

Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673

Nên nếu đặt A = n³ thì n²⁰¹⁹ = A⁶⁷³

Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:

a^k ‒ b^k = (a ‒ b)(a^k‒1 + a^k‒2b¹ + a^k‒3b² +...+ a¹b^k‒2 + b^k‒1)

Ta có: n²⁰¹⁹ ‒ 1 = A⁶⁷³ ‒ 1 = A⁶⁷³ ‒ 1⁶⁷³ = (A ‒ 1)(A⁶⁷² + A⁶⁷¹ + ... + A¹ + 1)

⇒ n²⁰¹⁹ ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n²⁰¹⁹ ‒ 1 ⋮ (n³ ‒ 1)

Mà n³ ‒ 1 = (n ‒ 1)(n² + n +1) ⇒ n²⁰¹⁹ ‒ 1 ⋮ (n² + n +1)         (2)                 

Từ (1) và (2) ⇒ n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 ⋮ (n² + n +1)        

Như vậy để n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:

1. n² + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)

2. n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 = n² + n +1 hay n²⁰²⁰(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n²⁰¹⁹ ‒ 1) = 0

Do n > 0 nên n²⁰¹⁹ ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1

Thử lại ta có: n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 = 1²⁰²¹ + 1²⁰²⁰ + 1 = 3 là số nguyên tố.

Xét p = 2 ⇒ p + 8 = 2 + 8 = 10 (loại)

Xét p = 3 ⇒ p + 8 = 3 + 8 = 11 (tm) 

                    p + 16 = 3 + 16 = 19 (tm)

Xét p là số nguyên tố và p > 3 ⇒ p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Với p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) (loại)

Với p = 3k + 2 ⇒ p + 16 = 3k + 2 + 16 = 3k + 18 = 3(k + 6) (loại)

Vậy p = 3.