Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm MP, NQ. Chứng minh IJ // AE và \(IJ = \frac{1}{4}AE\).

Cho \(P = \left( {\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {\frac{{1 + \sqrt {{x^3}} }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để P = 3.

Cho biểu thức: \(P = \frac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\).

a) Xác định tập xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức.

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, đường cao AH, từ H kẻ HM vuông góc AC và trên HM lấy điểm E sao cho MH = EM. Kẻ HN vuông góc AB và trên HN lấy điểm D sao cho NH = DN.

a) Chứng minh D, A, E thẳng hàng.

b) Chứng minh MN song song DE.

c) Chứng minh BD song song CE.

d) Chứng minh AD = AE = AH, suy ra tam giác DHE vuông.

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A’B’C’ (vuông tại đỉnh A’) có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: AB = A’B’, \(\widehat B = \widehat {B'}\) (Hình 4.46). Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm được xác định: \(4\overrightarrow {BM} - 3\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng:

Cho tam giác đều ABC cạnh a.

a) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).

b) Xác định điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thoả mãn a² – 2b = b² – 2c = c² – 2a. Tính giá trị của biểu thức: A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

Hai kho gạo có 155 tấn gạo. Nếu thêm vào kho thứ nhất 8 tấn và thêm vào kho thứ hai 17 tấn thì số gạo ở mỗi kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 26 cm, chiều rộng kém chiều dài 8cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đó?

Không tính cụ thể các giá trị của A và B, hãy cho biết số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

A = 32 . 53 – 31; B = 53 . 31 + 32.

Không tính cụ thể các giá trị của A và B, hãy cho biết số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

Cho biết log₂₅ 7 = a và log₂ 5 = b. Tính \({\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8}\) theo a, b.

Trên một khu đất rộng 2dam² 60m², người ta dùng \(\frac{2}{5}\) diện tích đó để làm nhà, \(\frac{1}{3}\) diện tích còn lại trồng rau. Phần đất cuối làm chuồng trại chăn nuôi. Tính diện tích phần làm chuồng trại chăn nuôi.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(\cot {\rm{A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4{\rm{S}}}}\).

b) \(\cot {\rm{A + cot B + cot C}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\).

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(\cot {\rm{A + cot B + cot C}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4{\rm{S}}}}\).

b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Ông Tư mua một khu đất hình chữ nhật dài 48m, rộng 25m. Ông thuê rào xung quanh bằng lưới giá 2 500 đồng/dm. Hỏi ông tốn tất cả bao nhiêu tiền, biết lúc rào ông có chừa lối đi rộng 2m.

Lớp 4A và 4B trung bình mỗi lớp có 22 học sinh tiên tiến. Biết lớp 4A có 24 học sinh tiên tiến. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu học sinh tiên tiến ?

Số trung bình cộng của hai số bằng 8 . Biết một trong hai số kia là 9 .tìm số kia ?

Mẹ hái được 27kg chè, chị hái được ít hơn 12kg chè nhưng lại hơn em 6kg chè. Hỏi trung bình mỗi người hái được bao nhiêu kg chè?

Cho đường thẳng (d): y = (m – 3)x + 3m + 2. Tìm giá trị nguyên của m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

Chứng minh: sin 2a = 2sin a cos a.

Diện tích miếng bìa có kích thước theo hình vẽ bên là:

Tính diện tích miếng bìa có kích thước theo hình vẽ bên.

Cho 3 hàm số có đồ thị (d₁), (d₂), (d₃) với:

(d₁) : y = 2x + m – 3;

(d₂) : y = (m + 1)x – 3;

(d₃) : y = 4x – 1.

Tìm m để:

a) (d₁) đi qua gốc tọa độ.

b) (d₁), (d₂), (d₃) đồng quy.

c) (d₁) đi qua giao điểm của (d₃) và trục hoành.

d) (d₂) đi qua giao điểm của (d₃) và trục tung.

Cho tam giác ABC, biết a = 7, b = 8, c = 5. Tính \(\widehat A\), S, h_a , R.

Chu kì của hàm số y = 3 + 2sin² 2x là

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Thể tích của hình chóp là:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 30°. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

Có một số tiền mua kẹo Trung Thu. Nếu mua loại 5000 đồng một gói thì được 18 gói. Hỏi cùng số tiền đó, nếu mua kẹo loại 7 500 một gói thì mua được mấy gói như thế?

Theo dự định một đội công nhân phải làm trong 15 ngày, mỗi ngày lắp 200 m đường ống thì mới lắp xong đường ống nước cho khu dân phố. Do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày đội công nhân đó làm được nhiều hơn dự định 50 m đường ống. Hỏi đội công nhân đó phải làm trong bao lâu để lắp xong đường ống đó?

Một vòi nước chảy vào một cái bể không có nước.Trong 2 giờ đầu vòi chảy được \(\frac{2}{7}\) bể, trong 3 giờ sau chảy được \(\frac{9}{{14}}\) bể. Hỏi trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể nước?

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)

a) Tìm hệ số a của đường thẳng đi qua A và B.

b) Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A và B.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C biết A’.ABC là tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích khối A’BCC’B’.

Một mảnh vườn hình vuông cạnh 20 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m thuộc đất của vườn. Phần đất còn lại dùng để trồng trọt. Tính diện tích trồng trọt của mảnh vườn.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

Cho x, y, x thỏa mãn điều kiện x + y + x + xy + yz + zx = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x² + y² + z².

Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = – x + 1.

Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD.

a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp (P) đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.

Cho tam giác ABC có các đường cao bằng 12 cm, 15 cm, 20 cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \).

b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \).

Tích các nghiệm của bất phương trình \(\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

Nhà máy A sản xuất một loại áo giá vốn là 500 000 000 đồng và giá bán mỗi chiếc sẽ là 400 000 đồng khi đó gọi y (đồng) là số tiền lời (hoặc lỗ) của nhà máy thu được khi bán x cái áo.

a) Viết công thức biểu diễn y theo x.

b) Hỏi nhà máy A phải bán bao nhiêu cái áo để đạt được số tiền lời trên 15 000 000 (đồng)?

So sánh: 12¹⁸ và 27¹⁶ . 16⁹.

Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ + m)(x₂ + m) = 3m² + 12.

Trong hai số – 1 và – 6, số nào lớn hơn?

Tìm tất cá các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 5\)

đồng biến trên ℝ.

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Xác định các vectơ sau đây:

a) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \);

b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {{\rm{DO}}} \);

c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{\rm{DA}}} \);

d) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).

Biết 20% của một số là 25 số đó là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn\(\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)