5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 10)

Cho đường thẳng mx + (2 – 3m)y + m – 1= 0 (d)

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) lớn nhất.

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O, đường kính BC lần lượt cắt AB, AC tại M và N; BM và CN giao nhau tại H, AH cắt BC tại K.

a) Chứng minh: AK ⊥ BC.

b) Chứng minh: AM . AB = AN . AC.

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.

a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.

b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?

c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?

d) Chứng minh rằng BC = BD + CE.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

B = 2(x⁴ + y⁴ + z⁴) – (x² + y² + z²)² – 2(x² + y² + z²)(x + y + z)² + (x + y + z)⁴.

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn (O') sao cho AM ⊥ AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O') với B thuộc (O) và C thuộc (O').

a) Chứng minh ba đường thẳng MN, BC và OO' đồng quy.

b) Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNOO' có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi AD là phân giác trong của ∆AHC.

a) Chứng minh ∆ BAD là tam giác cân;

b) Cho BC = 25 cm, HD = 6 cm. Tính AB.

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.

Tìm giá trị lớn nhất của P = a² + b² + c² + 3\[\sqrt {abc} \].

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HF vuông góc với AB (F ∈ AB) và kẻ HE ⊥ vói AC (E ∈ AC).

a) Chứng minh: \[\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\].

b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh ME . MF = MB . MC.

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng: OA ⊥ BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của ∆ ABC; Biết OB = 2 cm, OA = 4 cm.

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA ⊥ MN.

b) Vẽ đường kính NC. Chứng minh rằng MC // AO.

c) Tính độ dài các cạnh của ∆AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp điểm). Vẽ BE là đường kính của (O). Dựng đường cao BC của ∆OAB, tia BC cắt (O) tại D (D khác B).

a) Chừng minh AD là tiếp tuyến của (O) và OA // DE.

b) Gọi F là giao điểm của AE và (O) (F khác E). Chứng minh AE . AF = AC . AO.

c) Gọi G là giao điểm của BF và ED, H là giao điểm của AE và BD, I là giao điểm của AB và DE. Chứng minh GH // AB và AB = AI.

Cho ba điểm A(– 4; 0), B(0; 3) C(2; 1).

a) Xác định tọa độ \[\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AC} \;--\overrightarrow {AB} \].

b) Tìm điểm M sao cho MA + 2MB + 3MC = 0.

Cho ∆ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I.

a) Tứ giác AMCK là hình gì?

b) Tứ giác AKMB là hình gì?

c) Có trường hợp nào của ∆ABC để tứ giác AKMB là hình thoi không? Vì sao?

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây AC ở H. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt tia OH ở D. BD cắt đường tròn tâm O ở E.

a) Chứng minh HA = HC.
b) Biết \[\widehat {DCO} = 90^\circ \]. Chứng minh OH . DO = DE . DB.

c) Trên tia đối của EA lấy F sao cho E là trung điểm AF. Từ F vẽ đường thẳng AD vuông góc ở K; KF cắt BC ở M. Chứng minh MK = MF.

Cho ∆ ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm.

a) Giải ∆ABC.

b) Gọi I là trung điểm của BC, vẽ AH ⊥ BC. Tính AH, AI.

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AI. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt xy tại điểm M, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt xy tại điểm N. Chứng minh \[MB\,\,.\,NC = \frac{{B{C^2}}}{4}\].

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và \[\widehat A = 60^\circ \]. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD.

a) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?

b) Tam giác DEC là tam giác gì? Vì sao?

c) Tính số đo\[\widehat {AED}\]?

Cho số thực x, y thỏa mãn: \[x - \sqrt {x + 6} = \sqrt {y + 6} - y\].

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x + y.

Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo (không vuông góc), I và K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K.

a) Chứng minh rằng tứ giác BMND là hình bình hành.

b) Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật?

c) Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD, O là trung điểm AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.

a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm AD, Chứng minh I là trung điểm BE.

Cho ∆ ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. lấy điểm E đối xứng với điểm M qua điểm N. Chứng minh:

a) Tứ giác AECM là hình bình hành.

b) Tứ giác AEMB là hình bình hình.

c) Tứ giác AECB là hình thang.

d) Tìm điều kiện của ∆ABC để hình bình hành AECM là hình chữ nhật.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = \[ - \frac{1}{2}\]x² và đường thẳng (d) y = mx + m – 3(với m là tham số).

a) Khi m = –1, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức x₁² + x₂² = 14.