Câu hỏi:
20/03/2023 2,134Cho đường thẳng mx + (2 – 3m)y + m – 1= 0 (d)
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) lớn nhất.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Gọi I (x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với điểm m nên ta có: mx0 + (2 – 3m)y0 + m – 1 = 0 \(\forall m\)
⇔ m(x0 – 3y0 + 1) + 2y0 – 1 = 0 \(\forall m\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
⇔ \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).
Ta có: OH ≤ OI nên OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H ≡ I hay OI ⊥ (d). Đường thẳng qua O có phương trình u = ax do \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a\).
Suy ra a = 1.
Do đó OI: y = x.
Đường thẳng (d) được viết lại như sau:
mx + (2 – 3m)y + m – 1 = 0
⇔ (2 – 3m)y = –mx + 1 – m
• Nếu \(m = \frac{2}{3}\) thì đường thẳng (d): \(x - \frac{1}{2} = 0\) song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là \(\frac{1}{2}\).
• Nếu \(m \ne \frac{2}{3}\) đường thẳng (d) có thể viết lại \(y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}\).
Điều kiện để (d) vuông góc với OI là: \(\frac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1\)
\( \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).
Khi đó \(OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cẩu bài toán.CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
về câu hỏi!