Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AO, OB, CD.

a) Chứng minh: AMNB là hình thang cân;

b) Chứng minh: MNPD là hình bình hành;

c) Chứng minh: DM vuông góc AN.

Lời giải

a) Vì MN là đường trung bình của ∆OAB nên MN // AB.

Suy ra AM = NB = \(\frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OB\).

Do đó tứ giác MNBA là hình thang cân.

b) Ta có MN // AB nên MN // DP

Do đó MN = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DC = DP\).

Vậy tứ giác MNPD là hình bình hành.

c) Xét ∆DMB có MO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Suy ra DMB là tam giác cân.

Do đó \(\widehat {MBD} = \widehat {MDB}\)       (1)

Dễ thấy: ∆OAN = ∆OBM suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {OAN}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OAN} = \widehat {MDB}\).

Mà \(\widehat {DNP} = \widehat {MDB}\) (hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {DNP} = \widehat {OAN}\).

Xét ∆OAN có \(\widehat {OAN} + \widehat {ONA} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {DNP} + \widehat {ONA} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \)NP\( \bot \)AN.