Câu hỏi:

19/08/2025 396

Cho (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O’) sao cho AM vuông góc với AN.

a) Chứng minh OM // O’N.

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung (ảnh 1)

a) Vì OM = OA = R nên tam giác OAM cân tại O.

Suy ra \(\widehat {AOM} = 180^\circ - 2.\widehat {OAM}\).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AO'N} = 180^\circ - 2.\widehat {O'AN}\).

Ta có \(\widehat {OAM} + \widehat {MAN} + \widehat {NAO'} = 180^\circ \) (kề bù).

Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {NAO'} = 180^\circ - \widehat {MAN} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {AO'N} = 180^\circ - 2.\widehat {OAM} + 180^\circ - 2.\widehat {O'AN}\).

\( = 360^\circ - 2.\left( {\widehat {OAM} + \widehat {O'AN}} \right) = 360^\circ - 2.90^\circ = 180^\circ \).

Mà hai góc \(\widehat {AOM},\widehat {AO'N}\) ở vị trí trong cùng phía.

Vậy OM // O’N.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên O’N.

Vì OM // O’N nên tứ giác OMNO’ là hình thang.

Suy ra \({S_{OMNO'}} = \frac{{OH.\left( {OM + O'N} \right)}}{2} = \frac{{OH.\left( {R + R'} \right)}}{2}\).

\[ \le \frac{{OO'.\left( {R + R'} \right)}}{2} = \frac{{\left( {R + R'} \right).\left( {R + R'} \right)}}{2} = \frac{{{{\left( {R + R'} \right)}^2}}}{2}\].

Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ O’ hay OO’ ⊥ O’N, OO’ ⊥ OM.

Khi đó \(\widehat {AOM} = 90^\circ \). Suy ra \(\widehat {OAM} = 45^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {O'AN} = 45^\circ \).

Vậy M ở vị trí sao cho tam giác OAM vuông cân tại O, N ở vị trí sao cho tam giác O’AN vuông cân tại O’ thì diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông (ảnh 1)

a) Ta có tam giác ADB vuông cân tại D.

Suy ra \(\widehat {DAB} = 45^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {CAE} = 45^\circ \).

Ta có \(\widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ \).

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (1)

Chứng minh tương tự, ta được D nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2)

Từ (1), (2), suy ra DM là đường trung trực của đoạn AB.

Mà DM cắt AB tại I.

Do đó DM ⊥ AB tại I.

Chứng minh tương tự, ta được ME ⊥ AC tại K.

Tứ giác IAKM, có: \(\widehat {MIA} = \widehat {IAK} = \widehat {AKM} = 90^\circ \).

Vậy tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác ADB vuông cân tại D có DI là đường cao.

Suy ra DI cũng là đường phân giác của tam giác ADB.

Do đó \[\widehat {ADI} = 90^\circ :2 = 45^\circ \].

Mà \(\widehat {DME} = 90^\circ \) (do tứ giác IAKM là hình chữ nhật).

Vậy tam giác DME là tam giác vuông cân tại M.

Câu 2

Số tập con của tập hợp A = {x ∈ ℝ | 3(x² + x)² – 2x² – 2x = 0} là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 3(x² + x)² – 2x² – 2x = 0.

⇔ 3(x² + x)² – 2(x² + x) = 0.

⇔ (x² + x)[3(x² + x) – 2] = 0.

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + x = 0\\3{x^2} + 3x - 2 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{6}\end{array} \right.\]

Vì vậy \(A = \left\{ {0; - 1;\frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{6}} \right\}\).

Vậy số tập con của tập A là 2³ = 8 tập con.

Câu 3