Câu hỏi:
13/07/2024 713Cho đường tròn (O; R) và dây MN. Các tiếp tuyến của (O) tại M, N cắt nhau ở A. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AN, cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Q là giao điểm của AP và (O), K là giao điểm của MQ và AN. Chứng minh
a) AK2 = KQ.KM.
b) K là trung điểm của AN.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có \(\widehat {AMQ} = \widehat {MPQ}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung) và \(\widehat {QAK} = \widehat {MPQ}\) (do AK // MP).
Suy ra \(\widehat {AMQ} = \widehat {QAK}\).
Xét ∆AKQ và ∆MAK, có:
\(\widehat {AMQ} = \widehat {QAK}\) (chứng minh trên);
\(\widehat {AKQ}\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AK}}{{MA}} = \frac{{KQ}}{{AK}} = \frac{{AQ}}{{MK}}\).
\[ \Leftrightarrow \frac{{AK}}{{MA}} = \frac{{MK}}{{AK}} = \frac{{AQ}}{{KQ}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{AK}}{{MK}} = \frac{{MA}}{{AK}} = \frac{{AQ}}{{KQ}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{AK}}{{MK}} = \frac{{KQ}}{{AK}} = \frac{{AQ}}{{MA}}\].
Vậy AK2 = KQ.KM (điều phải chứng minh).
b) Xét ∆KQN và ∆KNM, có:
\(\widehat {KNQ} = \widehat {KMN}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung);
\(\widehat {MKN}\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{KQ}}{{KN}} = \frac{{QN}}{{NM}} = \frac{{KN}}{{KM}}\).
Do đó KN2 = KQ.KM.
Mà AK2 = KQ.KM (câu a).
Suy ra KN = AK.
Vậy K là trung điểm AN.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
a) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} \);
b) \(\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \);
c) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \);
d) \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} \).
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.
a) Chứng minh AH = DE.
b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.
d) Chứng minh SABC = 2SDEQP.
về câu hỏi!