Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

c) Diện tích của tam giác ABC;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \), với M là trung điểm của BC.

Lời giải

a) BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos\(\widehat {BAC}\).

= 16 + 36 – 2.4.6.cos60°

= 28.

Suy ra \(BC = 2\sqrt 7 \).

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{16 + 28 - 36}}{{2.4.2\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\).

Suy ra \(\widehat {ABC} \approx 79^\circ 6'\).

Vậy \(BC = 2\sqrt 7 \) và \(\widehat {ABC} \approx 79^\circ 6'\).

b) Ta có \(2R = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}\).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}\).

c) Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4.6.\sin 60^\circ = 6\sqrt 3 \).

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng \(6\sqrt 3 \).

d) Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC\), với AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC.

\( \Leftrightarrow 6\sqrt 3 = \frac{1}{2}.AH.2\sqrt 7 \).

\( \Leftrightarrow AH = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC là \(\frac{{6\sqrt {21} }}{7}\).

e) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.6.\cos \widehat {BAC} = 24.\cos 60^\circ = 12\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2}\)

\( = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}.36 = 24\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 12,\,\,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = 24\).