Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.

a) Chứng minh \[\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \].

b) Tìm các điểm D, C sao cho \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {ND} ;\,\,\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).

Lời giải

a) Ta có I là trung điểm AB (giả thiết) và I là trung điểm MN (do IN = MI).

Do đó tứ giác AMBN là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {MA} \).

Ta có \(VT = \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MB} = VP\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi F là trung điểm AI.

Suy ra \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = 2\overrightarrow {NF} \).

Theo đề, ta có \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {ND} \).

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NF} = \overrightarrow {ND} \).

Suy ra F là trung điểm của ND.

Mà F là trung điểm AI.

Vậy D là điểm thỏa mãn tứ giác ADIN là hình bình hành.

Ta có \(\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NB} = 2\overrightarrow {NK} \), với K là trung điểm MB.

Theo đề, ta có \(\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NK} = \overrightarrow {NC} \).

Suy ra K là trung điểm NC.

Mà K là trung điểm MB.

Vậy C là điểm thỏa mãn tứ giác BCMN là hình bình hành.