Cho tam giác cân ABC có CA = CB và góc ABC nhọn. Các đường cao CD, BE, AF cắt nhau ở H.

a) Chứng minh 4 điểm C, F, H, E nằm trên đường tròn (O). Xác định tâm O của đường tròn.

b) Chứng minh (O) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Chứng minh FB là phân giác của góc DFE.

Lời giải

a) Ta có: \(AE \bot BC,BF \bot AC\) nên \[\widehat {CFH} = \widehat {CEH} = 90^\circ \].

Do đó F, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CH.

Suy ra 4 điểm C, F, H, E cùng nằm trên đường tròn (O) đường kính CH với O là trung điểm của CH.

b) Gọi (O’) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do tam giác ABC có CA = CB nên tam giác ABC cân tại C

Do đó tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường cao CD.

Suy ra 3 điểm C, O, O’ thẳng hàng và OO’ = O’C – OC.

Lại có C cùng nằm trên đường tròn (O) và (O’)

Vậy (O) tiếp xúc với (O’) với (O’) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Chứng minh tương tự câu a ta cũng có tứ giác AFHD là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {HAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD).

Lại có \(\widehat {HAD} = \widehat {ECH}\) (do cùng phụ với \(\widehat {AHD} = \widehat {CHE}\))

            \(\widehat {ECH} = \widehat {FCH}\) (do tam giác ABC cân tại C nên CH là đường phân giác)

            \(\widehat {FCH} = \widehat {FCO} = \widehat {CFO}\) (do tam giác OCF có OC = OF nên là tam giác cân tại O)

Do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {CFO}\).

Mặt khác \(\widehat {CFO} + \widehat {OFH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HFD} + \widehat {{\rm{OF}}H} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {DFO} = 90^\circ \)

Mà F nằm trên (O) nên DF là tiếp tuyến của (O).

d) Do DF là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {DFH} = \widehat {FCH}\) (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung đó)

Ta cũng có \(\widehat {EFH} = \widehat {ECH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Mà \(\widehat {FCH} = \widehat {ECH}\) (do CH là phân giác của góc ACB)

Suy ra \(\widehat {EFH} = \widehat {DFH}\)

Do đó FB là phân giác của \(\widehat {DFE}\).