Câu hỏi:

20/03/2023 119

Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q, E, F là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh:

a) MN = PQ và NP = MQ.

b) MF = PE và ME = PF.

c) Tứ giác MEPF và tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) * Xét ΔBAC có:

AM = MB (M là trung điểm AB);

BN = NC (N là trung điểm CB).

Do đó MN // AC; \[MN = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (1)

* Xét ΔACD có:

AQ = QD (Q là trung điểm AD);

CP = PD (P là trung điểm CD).

Do đó PQ // AC; \[QP = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ // AC; \[MN = PQ = \;\frac{1}{2}AC\].

* Xét ΔBCD có:

CN = NB (N là trung điểm CB);

CP = PD (P là trung điểm CD).

Do đó NP // BD; \[NP = \;\frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (3)

* Xét ΔABD có:

AM = MP (M là trung điểm AB)

AQ = QD (Q là trung điểm AD)

Do đó  MQ // BD; \[MQ = \frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra NP // MQ // BD;  \[NP = MQ = \;\frac{1}{2}BD\]. 

b) * Xét ΔABD có:

MA = MB (gt)

BF = FD (gt)

Do đó MF // AD; \[MF = \;\frac{1}{2}AD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (5)

* Xét ΔACD có:

AE = EC (gt)

CP = PD (gt)

Do đó PE // AD; EP = \[\frac{1}{2}\]AD (định lí đường trung bình của một tam giác) (6)

Từ (5) và (6) suy ra MF // PE // AD; \[MF = PE = \;\frac{1}{2}AD\].

* Xét Δ ACB có:

AE = EC (gt)

AM = MB (gt)

Do đó ME // BC; \[ME = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (7)

* Xét ΔBDC có:

BF = FD (gt)

DP = PC (gt)

Do đó PF // BC; \[PF = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (8)

Từ (7) và (8) suy ra ME // PF // BC; \[ME = PF = \;\frac{1}{2}BC\]. 

c) Xét tứ giác MEPF có:

MN = PQ (chứng minh trên); NP = MQ (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MEPF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét tứ giác MNPQ có:

MF = PE (chứng minh trên); ME = PF (chứng minh trên).

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho bất phương trình: (m2)x2 + 2(43m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.

Xem đáp án » 20/03/2023 5,372

Câu 2:

Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt GTNN là 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.

Xem đáp án » 20/03/2023 4,301

Câu 3:

Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40 cm.

Xem đáp án » 20/03/2023 3,572

Câu 4:

Tìm GTNN: A = x2 + xy + y23x3y

Xem đáp án » 20/03/2023 3,346

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì?

Xem đáp án » 20/03/2023 2,269

Câu 6:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\);

c) Chứng minh MI.MK = MP2;

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án » 20/03/2023 1,766

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; \(SA = a\sqrt 3 \); SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB; SD, mặt phẳng (AMN) cắt SC tại I. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMIN

Xem đáp án » 20/03/2023 1,728

Bình luận


Bình luận