Câu hỏi:
20/03/2023 119Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q, E, F là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh:
a) MN = PQ và NP = MQ.
b) MF = PE và ME = PF.
c) Tứ giác MEPF và tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) * Xét ΔBAC có:
• AM = MB (vì M là trung điểm AB);
• BN = NC (vì N là trung điểm CB).
Do đó MN // AC; \[MN = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (1)
* Xét ΔACD có:
• AQ = QD (vì Q là trung điểm AD);
• CP = PD (vì P là trung điểm CD).
Do đó PQ // AC; \[QP = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ // AC; \[MN = PQ = \;\frac{1}{2}AC\].
* Xét ΔBCD có:
• CN = NB (vì N là trung điểm CB);
• CP = PD (vì P là trung điểm CD).
Do đó NP // BD; \[NP = \;\frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (3)
* Xét ΔABD có:
• AM = MP (vì M là trung điểm AB)
• AQ = QD (vì Q là trung điểm AD)
Do đó MQ // BD; \[MQ = \frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra NP // MQ // BD; \[NP = MQ = \;\frac{1}{2}BD\].
b) * Xét ΔABD có:
• MA = MB (gt)
• BF = FD (gt)
Do đó MF // AD; \[MF = \;\frac{1}{2}AD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (5)
* Xét ΔACD có:
• AE = EC (gt)
• CP = PD (gt)
Do đó PE // AD; EP = \[\frac{1}{2}\]AD (định lí đường trung bình của một tam giác) (6)
Từ (5) và (6) suy ra MF // PE // AD; \[MF = PE = \;\frac{1}{2}AD\].
* Xét Δ ACB có:
• AE = EC (gt)
• AM = MB (gt)
Do đó ME // BC; \[ME = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (7)
* Xét ΔBDC có:
• BF = FD (gt)
• DP = PC (gt)
Do đó PF // BC; \[PF = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (8)
Từ (7) và (8) suy ra ME // PF // BC; \[ME = PF = \;\frac{1}{2}BC\].
c) Xét tứ giác MEPF có:
MN = PQ (chứng minh trên); NP = MQ (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác MEPF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Xét tứ giác MNPQ có:
MF = PE (chứng minh trên); ME = PF (chứng minh trên).
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 5:
Câu 6:
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\);
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; \(SA = a\sqrt 3 \); SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB; SD, mặt phẳng (AMN) cắt SC tại I. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMIN
về câu hỏi!