Câu hỏi:
13/07/2024 11,327
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
\[\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}}\]
\( = \frac{{a\left( {a + b + c} \right) + bc}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right) + ca}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right) + ab}}{{a + b}}\)
\[ = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}}\].
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} \ge 2\left( {a + b} \right)\)
Tương tự \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}} \ge 2\left( {b + c} \right)\).
Và \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}} \ge 2\left( {a + c} \right)\).
Suy ra
\(2\left( {\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}}} \right) \ge 2\left( {a + b} \right) + 2\left( {b + c} \right) + 2\left( {a + c} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}} \ge 2\left( {a + b + c} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\left( {a + b + c} \right) = 2\) (đpcm).
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để hàm số y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Xem đáp án »
02/04/2025
17,382
Câu 3:
Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt GTNN là 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.
Xem đáp án »
13/07/2024
14,097
Câu 4:
Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40 cm.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,211
Câu 5:
Cho bất phương trình: (m − 2)x2 + 2(4 − 3m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.
Xem đáp án »
13/07/2024
9,615
Câu 6:
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = (m − 2)x + m tạo với trục Ox một góc nhọn, góc tù.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,367
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận