Câu hỏi:
13/07/2024 6,601
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
\[\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}}\]
\( = \frac{{a\left( {a + b + c} \right) + bc}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right) + ca}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right) + ab}}{{a + b}}\)
\[ = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}}\].
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} \ge 2\left( {a + b} \right)\)
Tương tự \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}} \ge 2\left( {b + c} \right)\).
Và \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}} \ge 2\left( {a + c} \right)\).
Suy ra
\(2\left( {\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}}} \right) \ge 2\left( {a + b} \right) + 2\left( {b + c} \right) + 2\left( {a + c} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{a + b}} \ge 2\left( {a + b + c} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\left( {a + b + c} \right) = 2\) (đpcm).Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để hàm số y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Xem đáp án »
13/07/2024
14,670
Câu 3:
Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt GTNN là 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,325
Câu 4:
Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40 cm.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,518
Câu 5:
Cho bất phương trình: (m − 2)x2 + 2(4 − 3m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,257
Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,014
về câu hỏi!