Tìm m để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

Lời giải

Với a ≠ 0. Theo bài ra ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\24a - {b^2} = 16a\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\16{a^2} - 8a = 0\\c = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\;\;\,\left( {KTM} \right)\\a = \frac{1}{2}\;\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\].