Câu hỏi:

13/07/2024 843

Cho hình chữ nhật ABCD, O là giao điểm hai đường chéo; M ∈ CD và N ∈ AB sao cho DM = BN.

a) Chứng minh ANCM là hình bình hành, từ đó suy ra các điểm M, O, N thẳng hàng.

b) Qua M kẻ đuờng thẳng song song vói AC cắt AD ở E, qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F. Chứng minh tứ giác ENFM là hình bình hành.

c) Tìm vị trí của điểm M, N để ANCM là hình thoi.

d) BD cắt NF tại I. Chứng minh I là trung điểm của NF

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Ta chứng minh AN = CM; AN // CM suy ra AMCN là hình bình hành.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC.

Do ANCM là hình bình hành có AC và MN là hai đường chéo.

Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

b) Ta có: EM // AC nên \[\widehat {EMD} = \widehat {ACD}\] (hai góc so le trong)

NF // AC nên \[\widehat {BNF} = \widehat {BAC}\] (hai góc so le trong)

Mà \[\widehat {ACD} = \widehat {BAC}\] (vì AB // DC, tính chất hình chữ nhật)

Do đó \[\widehat {EMD} = \widehat {BNF}\].

Từ đó chứng minh được ∆EDM = ∆FBN (g.c.g).

Suy ra EM = FN.

Lại có EM // FN (vì cùng song song với AC).

Do đó tứ giác ENFM là hình bình hành.

c) Tứ giác ANCM là hình thoi nên AC ⊥ MN tại O

Do đó M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua O và vuông góc với AC và cắt CD, AB.

Khi đó M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB.

d) Ta chứng minh được DBOC cân tại O

Suy ra \[\widehat {OCB} = \widehat {OBC}\] và \[\widehat {NFB} = \widehat {OCF}\] (hai góc đồng vị)

Do đó DBFI cân tại I nên IB = IF (1)

Ta lại chứng minh được DNIB cân tại I nên IN = IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là trung điểm của NF.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2

$\Rightarrow$ y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (∀x > 2)

$\Leftrightarrow$ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

$ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)$

Ta có: $g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}$.

Câu 2

Tìm GTNN: A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Xem đáp án

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$.

Câu 3