Câu hỏi:

19/08/2025 591

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc AI cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng:

a) $\frac{B M}{C N} = \frac{B I^{2}}{C I^{2}}$

b) BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông (ảnh 1)

a) Xét tam giác AIM vuông tại I có: $\hat{A M I} = 90 ° - \frac{1}{2} \hat{A} = \frac{1}{2} (180 ° - \hat{A}) = \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = 180 ° - \hat{A M I} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

Xét tam giác BIC, có: $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C})$

$\Rightarrow \hat{B M I} = \hat{B I C}$

Xét ∆BMI và ∆BIC, có:

$\Rightarrow \hat{B M I} = \hat{B I C}$ (cmt)

_{$\hat{M B I} = \hat{I B C}$}

⇒ ∆BMI ̴ ∆BIC (g – g)

$\Rightarrow \frac{B M}{B I} = \frac{B I}{B C} \Leftrightarrow B I^{2} = B M . B C$

Chứng minh tương tự ta có ∆CNI ̴ ∆CIB (g – g)

$\Rightarrow \frac{C N}{C I} = \frac{C I}{C B} \Leftrightarrow C I^{2} = C N . C B$

\Rightarrow \frac{B I^{2}}{C I^{2}} = \frac{B M}{C N}

$\Rightarrow \frac{B I^{2}}{C I^{2}} = \frac{B M}{C N}$ .

b) Từ cm trên suy ra :△BMI ∼ △INC

_{$\Rightarrow \frac{B M}{I N} + \frac{M I}{N C}$}

⇒ BM.CN = MI.NI

ta có : △AMN là tam giác cân

⇒ MI = NI

⇒ BM.CN = IM²

ta lại có : △AIM vuông

⇒ IM²= AM²– AI²

⇒ BM.CN = AM²– AI²

= AM.AN – AI²= (AB − BM)(AC − CN) – AI²

= AB.AC − AB.CN − BM.AC + BM.CN – AI²

⇒ BM.AC + CN.AB + AI²= AB.AC.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa?

Lời giải

Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn (ảnh 1)

Gọi số học sinh giỏi cả ba môn của lớp 10 A là x ( x > 0, x ∈ N )

Mà số học sinh lớp 10A là 45 học sinh .

⇒ x + 5 + x + 4 + x + 3 + 11 - x + 9 - x + 8 - x + x = 45

⇒ 40 + x = 45

⇒ x = 5 (TM)

Vậy có 5 bạn giỏi cả ba môn toán lý và hóa.

Câu 2

Một trang trại cân thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Lời giải

Gọi số xe loại lớn, nhỏ cần thuê lần lượt là x, y xe, (x, y ≥ 0, x, y ∈ Z)

→ T = 4x + 2y (triệu đồng) là số tiền thuê xe.

Suy ra để số tiền thuê xe nhỏ nhất thì T = 4x + 2y nhỏ nhất

Theo bài ta có:

$\{\begin{matrix} 0 \leq x \leq 12 \\ 0 \leq y \leq 10 \\ 40 x + 30 y \geq 450 \\ 5 x + y \geq 35 \end{matrix}$

Vẽ miền nghiệm của hệ trên, thấy các điểm giao nhau là:

A (12, 10), B (12, 0), C (11.250), D (5,10), $E (\frac{60}{11}, \frac{85}{11})$

Suy ra:

T_A= 68, T_B= 48, T_C= 45, T_D= 40

→T_D nhỏ nhất vì x, y ∈ Z

→Cần thuê 5 xe lớn và 10 xe nhỏ

Câu 3